関数 $f(x)$ または $f(x,y)$ を与えられた点（それぞれ $x=0$ または $(x,y)=(0,0)$）の周りでテイラー展開する問題です。具体的には、 (1) $f(x) = \frac{1}{1+x}$ を $x=0$ でテイラー展開する。 (2) $f(x) = \log(1+x)$ を $x=0$ でテイラー展開する。 (3) $f(x,y) = e^{x+y} + e^{-(x+y)}$ を $(x,y)=(0,0)$ でテイラー展開する。 (4) $f(x,y) = 2(x^2+y^2)\sin(2x+y)\cos(2x+y)$ を $(x,y)=(0,0)$ でテイラー展開する。

1. 問題の内容

関数 $f(x)$ または $f(x,y)$ を与えられた点（それぞれ $x=0$ または $(x,y)=(0,0)$）の周りでテイラー展開する問題です。具体的には、

(1) $f(x) = \frac{1}{1+x}$ を $x=0$ でテイラー展開する。

(2) $f(x) = \log(1+x)$ を $x=0$ でテイラー展開する。

(3) $f(x,y) = e^{x+y} + e^{-(x+y)}$ を $(x,y)=(0,0)$ でテイラー展開する。

(4) $f(x,y) = 2(x^2+y^2)\sin(2x+y)\cos(2x+y)$ を $(x,y)=(0,0)$ でテイラー展開する。

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = \frac{1}{1+x}$ の場合：

これは等比数列の和の公式を利用できます。$|x|<1$ の条件下で、

$$\frac{1}{1+x} = 1 - x + x^2 - x^3 + x^4 - \dots = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^n$$

(2) $f(x) = \log(1+x)$ の場合：

$f'(x) = \frac{1}{1+x}$ であることを利用します。(1)の結果から、

$$f'(x) = 1 - x + x^2 - x^3 + \dots$$

両辺を積分することで、$f(x)$ のテイラー展開を得ます。積分定数は $f(0) = \log(1+0) = 0$ であることから決定できます。

$$f(x) = \int f'(x) dx = \int (1 - x + x^2 - x^3 + \dots) dx = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \dots = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{x^n}{n}$$

(3) $f(x,y) = e^{x+y} + e^{-(x+y)}$ の場合：

$e^u$ のテイラー展開 $e^u = 1 + u + \frac{u^2}{2!} + \frac{u^3}{3!} + \dots$ を利用します。

$$e^{x+y} = 1 + (x+y) + \frac{(x+y)^2}{2!} + \frac{(x+y)^3}{3!} + \dots$$

$$e^{-(x+y)} = 1 - (x+y) + \frac{(x+y)^2}{2!} - \frac{(x+y)^3}{3!} + \dots$$

したがって、

$$f(x,y) = e^{x+y} + e^{-(x+y)} = 2 \left( 1 + \frac{(x+y)^2}{2!} + \frac{(x+y)^4}{4!} + \dots \right) = 2 \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x+y)^{2n}}{(2n)!}$$

二項定理を使って $(x+y)^{2n}$ を展開することもできます。

(4) $f(x,y) = 2(x^2+y^2)\sin(2x+y)\cos(2x+y)$ の場合：

三角関数の積和の公式 $2\sin A \cos A = \sin(2A)$ を利用します。

$$f(x,y) = (x^2+y^2)\sin(2(2x+y)) = (x^2+y^2)\sin(4x+2y)$$

$\sin u = u - \frac{u^3}{3!} + \frac{u^5}{5!} - \dots$ であることを利用します。

$$\sin(4x+2y) = (4x+2y) - \frac{(4x+2y)^3}{3!} + \frac{(4x+2y)^5}{5!} - \dots$$

したがって、

$$f(x,y) = (x^2+y^2) \left( (4x+2y) - \frac{(4x+2y)^3}{3!} + \frac{(4x+2y)^5}{5!} - \dots \right)$$

低次の項だけを計算するなら、

$$f(x,y) = (x^2+y^2)(4x+2y) + O((x^2+y^2)(4x+2y)^3) = 4x^3+2x^2y+4xy^2+2y^3 + \dots$$

3. 最終的な答え

(1) $f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^n$

(2) $f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{x^n}{n}$

(3) $f(x,y) = 2 \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x+y)^{2n}}{(2n)!}$

(4) $f(x,y) = (x^2+y^2) \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n (4x+2y)^{2n+1}}{(2n+1)!}$

または、$f(x,y) = 4x^3+2x^2y+4xy^2+2y^3 + \dots$