ライプニッツの公式を利用して、$y_4 = \frac{d^n}{dx^n}((x^2 + 3x) \cos x)$ を求める問題です。ただし、$n$ は自然数です。

1. 問題の内容

ライプニッツの公式を利用して、$y_4 = \frac{d^n}{dx^n}((x^2 + 3x) \cos x)$ を求める問題です。ただし、$n$ は自然数です。

2. 解き方の手順

ライプニッツの公式は次の通りです。

$\frac{d^n}{dx^n}(f(x) \cdot g(x)) = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} f^{(k)}(x) g^{(n-k)}(x)$

ここで、$f(x) = x^2 + 3x$、$g(x) = \cos x$ とします。

$f(x)$ の微分を計算します。

$f'(x) = 2x + 3$

$f''(x) = 2$

$f'''(x) = 0$

$f^{(k)}(x) = 0$ （$k \ge 3$ のとき）

$g(x)$ の微分を計算します。

$g(x) = \cos x$

$g'(x) = -\sin x$

$g''(x) = -\cos x$

$g'''(x) = \sin x$

$g^{(4)}(x) = \cos x$

一般に、$g^{(n)}(x) = \cos(x + \frac{n\pi}{2})$となります。

ライプニッツの公式に代入すると、

$\frac{d^n}{dx^n}((x^2 + 3x) \cos x) = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} f^{(k)}(x) g^{(n-k)}(x)$

$= \binom{n}{0} f(x) g^{(n)}(x) + \binom{n}{1} f'(x) g^{(n-1)}(x) + \binom{n}{2} f''(x) g^{(n-2)}(x) + \sum_{k=3}^{n} \binom{n}{k} f^{(k)}(x) g^{(n-k)}(x)$

$n \ge 3$ のとき、$k \ge 3$ ならば $f^{(k)}(x) = 0$ なので、

$\frac{d^n}{dx^n}((x^2 + 3x) \cos x) = \binom{n}{0} f(x) g^{(n)}(x) + \binom{n}{1} f'(x) g^{(n-1)}(x) + \binom{n}{2} f''(x) g^{(n-2)}(x)$

$y_n = \frac{d^n}{dx^n}((x^2 + 3x) \cos x) = (x^2 + 3x) \cos(x + \frac{n\pi}{2}) + n(2x+3) \cos(x + \frac{(n-1)\pi}{2}) + \frac{n(n-1)}{2} \cdot 2 \cos(x + \frac{(n-2)\pi}{2})$

$y_n = (x^2 + 3x) \cos(x + \frac{n\pi}{2}) + n(2x+3) \cos(x + \frac{(n-1)\pi}{2}) + n(n-1) \cos(x + \frac{(n-2)\pi}{2})$

$n=4$ の場合を求めます。

$y_4 = (x^2 + 3x) \cos(x + 2\pi) + 4(2x+3) \cos(x + \frac{3\pi}{2}) + 4(3) \cos(x + \pi)$

$= (x^2 + 3x) \cos(x) + 4(2x+3) \sin(x) + 12(-\cos(x))$

$= (x^2 + 3x - 12) \cos x + (8x+12) \sin x$

3. 最終的な答え

$y_4 = (x^2 + 3x - 12) \cos x + (8x+12) \sin x$