関数 $f(x,y)$ が以下のように定義されている。 $f(x,y) = \begin{cases} xy \sin(\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}) & (x,y) \neq (0,0) \\ 0 & (x,y) = (0,0) \end{cases}$ この関数について、以下の問いに答える。 (1) $f_x(0,0)$ と $f_y(0,0)$ を求めよ。 (2) $f(x,y)$ は $(0,0)$ で全微分可能であることを示せ。 (3) $f_x(x,y)$ （$(x,y) \neq (0,0)$）を求め、$f_x(x,y)$ は $(0,0)$ で不連続であることを示せ。

## 問題6

1. 問題の内容

関数 $f(x,y)$ が以下のように定義されている。

$f(x,y) = \begin{cases}

xy \sin(\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}) & (x,y) \neq (0,0) \\

0 & (x,y) = (0,0)

\end{cases}$

この関数について、以下の問いに答える。

(1) $f_x(0,0)$ と $f_y(0,0)$ を求めよ。

(2) $f(x,y)$ は $(0,0)$ で全微分可能であることを示せ。

(3) $f_x(x,y)$ （$(x,y) \neq (0,0)$）を求め、$f_x(x,y)$ は $(0,0)$ で不連続であることを示せ。

2. 解き方の手順

(1) $f_x(0,0)$ と $f_y(0,0)$ を求める。偏微分の定義に従い、以下の式を用いる。

$f_x(0,0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h,0) - f(0,0)}{h}$

$f_y(0,0) = \lim_{k \to 0} \frac{f(0,k) - f(0,0)}{k}$

$f(0,0) = 0$ であることに注意する。

(2) $f(x,y)$ が $(0,0)$ で全微分可能であることを示す。全微分可能であるとは、以下の式を満たす $A, B$ が存在し、かつ以下の極限が 0 になることである。

$f(x,y) = f(0,0) + A x + B y + \epsilon(x,y) \sqrt{x^2+y^2}$

$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \epsilon(x,y) = 0$

ここで $A=f_x(0,0), B = f_y(0,0)$ を用い、上記の $\epsilon(x,y)$ を求め、$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \epsilon(x,y) = 0$ となることを示す。

(3) $(x,y) \neq (0,0)$ における $f_x(x,y)$ を求める。積の微分、合成関数の微分などを適切に用いる。求めた $f_x(x,y)$ が $(0,0)$ で不連続であることは、例えば $(x,0)$ 方向に $(0,0)$ に近づけた場合と $(x,x)$ 方向に $(0,0)$ に近づけた場合で極限値が異なることを示すことで証明できる。

3. 最終的な答え

(1)

$f_x(0,0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h,0) - f(0,0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{0 - 0}{h} = 0$

$f_y(0,0) = \lim_{k \to 0} \frac{f(0,k) - f(0,0)}{k} = \lim_{k \to 0} \frac{0 - 0}{k} = 0$

したがって、$f_x(0,0) = 0$, $f_y(0,0) = 0$

(2)

$f(x,y) = 0 + 0 \cdot x + 0 \cdot y + \epsilon(x,y) \sqrt{x^2+y^2}$ と書けることを示す。

$\epsilon(x,y) = \frac{f(x,y)}{\sqrt{x^2+y^2}} = \frac{xy \sin(\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}})}{\sqrt{x^2+y^2}} = \frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}} \sin(\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}})$

ここで、$|\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}| \leq \frac{x^2+y^2}{2\sqrt{x^2+y^2}} = \frac{\sqrt{x^2+y^2}}{2}$ であり、$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{\sqrt{x^2+y^2}}{2} = 0$ である。また、$\sin$ の部分は有界であるため、$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \epsilon(x,y) = 0$ となり、全微分可能である。

(3)

$f_x(x,y) = y \sin(\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}) + xy \cos(\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}) (-\frac{1}{2}) (x^2+y^2)^{-\frac{3}{2}} 2x$

$= y \sin(\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}) - \frac{x^2y}{(x^2+y^2)^{\frac{3}{2}}} \cos(\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}})$

$x=0$ で $(0,0)$ に近づけると $\lim_{y \to 0} f_x(0,y) = \lim_{y \to 0} y \sin(\frac{1}{|y|}) = 0$

$x=y$ で $(0,0)$ に近づけると $\lim_{x \to 0} f_x(x,x) = \lim_{x \to 0} x \sin(\frac{1}{\sqrt{2}|x|}) - \frac{x^3}{(2x^2)^{\frac{3}{2}}} \cos(\frac{1}{\sqrt{2}|x|})$

$= \lim_{x \to 0} x \sin(\frac{1}{\sqrt{2}|x|}) - \frac{x^3}{2\sqrt{2}|x|^3} \cos(\frac{1}{\sqrt{2}|x|}) = \lim_{x \to 0} x \sin(\frac{1}{\sqrt{2}|x|}) - \frac{1}{2\sqrt{2}} \frac{x}{|x|} \cos(\frac{1}{\sqrt{2}|x|})$

この極限は存在しない（$\cos$ の部分が振動する）。

したがって、$f_x(x,y)$ は $(0,0)$ で不連続である。