ある人が、ある日に山のふもとを午前8時に出発し、頂上に午後4時に到着しました。翌日、その人は午前8時に頂上を出発し、山のふもとに午後4時に到着しました。このとき、降りる途中のどこかの地点で、昨日と同じ時刻に同じ場所にいたことを数学的に証明する必要があります。

1. 問題の内容

ある人が、ある日に山のふもとを午前8時に出発し、頂上に午後4時に到着しました。翌日、その人は午前8時に頂上を出発し、山のふもとに午後4時に到着しました。このとき、降りる途中のどこかの地点で、昨日と同じ時刻に同じ場所にいたことを数学的に証明する必要があります。

2. 解き方の手順

この問題は、中間値の定理を用いて証明できます。

* **関数の定義:**

$f(t)$ を1日目に時刻 $t$ にいた地点の標高とする。$g(t)$ を2日目に時刻 $t$ にいた地点の標高とする。

$t$ は午前8時からの経過時間を表す変数とする。つまり、午前8時が $t=0$ で、午後4時が $t=8$ である。

* **関数の性質:**

* $f(t)$ と $g(t)$ は連続関数である（瞬間移動はしないため）。

* $f(0)$ は山のふもとの標高である。

* $f(8)$ は山の頂上の標高である。

* $g(0)$ は山の頂上の標高である。

* $g(8)$ は山のふもとの標高である。

* **差の関数:**

$h(t) = f(t) - g(t)$ という新しい関数を定義する。これは、時刻 $t$ における1日目と2日目の標高の差を表す関数である。

* **h(0) と h(8) の符号:**

* $h(0) = f(0) - g(0) =$ (ふもとの標高) - (頂上の標高) $< 0$

* $h(8) = f(8) - g(8) =$ (頂上の標高) - (ふもとの標高) $> 0$

* **中間値の定理:**

$h(t)$ は連続関数であり、$h(0) < 0$ かつ $h(8) > 0$ であるため、中間値の定理より、ある $c$ ($0 < c < 8$) が存在し、$h(c) = 0$ となる。

* **結論:**

$h(c) = 0$ より、$f(c) - g(c) = 0$、つまり、$f(c) = g(c)$ となる。これは、1日目と2日目の時刻 $c$ における標高が同じであることを意味する。したがって、ある時刻 $c$ において、同じ場所にいたことが証明された。

3. 最終的な答え

中間値の定理より、ある時刻において、昨日と同じ時間、同じ場所にいたことが数学的に証明されました。