与えられた3つの関数について、極値、凹凸、変曲点を調べ、その概形を描く。 (1) $y = (x-1)^2(x-3)$ (2) $y = 2x^2\sqrt{x - 5x^2}$ (3) $y = \frac{\log x}{x}$

1. 問題の内容

与えられた3つの関数について、極値、凹凸、変曲点を調べ、その概形を描く。

(1) $y = (x-1)^2(x-3)$

(2) $y = 2x^2\sqrt{x - 5x^2}$

(3) $y = \frac{\log x}{x}$

2. 解き方の手順

(1) $y = (x-1)^2(x-3)$

まず、$y$を微分して$y'$を求める。

$y = (x^2 - 2x + 1)(x-3) = x^3 - 2x^2 + x - 3x^2 + 6x - 3 = x^3 - 5x^2 + 7x - 3$

$y' = 3x^2 - 10x + 7 = (3x-7)(x-1)$

次に、$y'=0$となる$x$を求める。

$(3x-7)(x-1)=0$

$x=1, \frac{7}{3}$

$y''$を求める。

$y'' = 6x - 10$

$x=1$のとき、$y'' = 6-10 = -4 < 0$なので、極大値を持つ。

$x=1$のとき、$y = (1-1)^2(1-3) = 0$。よって、極大値は$0$。

$x=\frac{7}{3}$のとき、$y'' = 6(\frac{7}{3}) - 10 = 14 - 10 = 4 > 0$なので、極小値を持つ。

$x=\frac{7}{3}$のとき、$y = (\frac{7}{3}-1)^2(\frac{7}{3}-3) = (\frac{4}{3})^2(-\frac{2}{3}) = \frac{16}{9}(-\frac{2}{3}) = -\frac{32}{27}$。よって、極小値は$-\frac{32}{27}$。

$y''=0$となる$x$を求める。

$6x - 10 = 0$

$x = \frac{5}{3}$

$x=\frac{5}{3}$のとき、$y = (\frac{5}{3}-1)^2(\frac{5}{3}-3) = (\frac{2}{3})^2(-\frac{4}{3}) = \frac{4}{9}(-\frac{4}{3}) = -\frac{16}{27}$。変曲点は$(\frac{5}{3}, -\frac{16}{27})$。

(2) $y = 2x^2\sqrt{x - 5x^2}$

まず、定義域を確認する。根号の中身が0以上である必要がある。

$x - 5x^2 \ge 0$

$x(1 - 5x) \ge 0$

$0 \le x \le \frac{1}{5}$

次に、$y$を微分して$y'$を求める。

$y = 2x^2(x - 5x^2)^{1/2}$

$y' = 4x\sqrt{x - 5x^2} + 2x^2 \frac{1 - 10x}{2\sqrt{x - 5x^2}} = 4x\sqrt{x - 5x^2} + \frac{x^2(1 - 10x)}{\sqrt{x - 5x^2}} = \frac{4x(x - 5x^2) + x^2(1 - 10x)}{\sqrt{x - 5x^2}} = \frac{4x^2 - 20x^3 + x^2 - 10x^3}{\sqrt{x - 5x^2}} = \frac{5x^2 - 30x^3}{\sqrt{x - 5x^2}} = \frac{5x^2(1 - 6x)}{\sqrt{x - 5x^2}}$

$y'=0$となる$x$を求める。

$5x^2(1 - 6x) = 0$

$x=0, x=\frac{1}{6}$

$x=0$のとき、$y=0$

$x=\frac{1}{6}$のとき、$y = 2(\frac{1}{6})^2\sqrt{\frac{1}{6} - 5(\frac{1}{6})^2} = 2\frac{1}{36}\sqrt{\frac{1}{6} - \frac{5}{36}} = \frac{1}{18}\sqrt{\frac{6-5}{36}} = \frac{1}{18}\sqrt{\frac{1}{36}} = \frac{1}{18} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{108}$

$x=0$で極小値0、$x=\frac{1}{6}$で極大値$\frac{1}{108}$を取る。

(3) $y = \frac{\log x}{x}$

まず、定義域を確認する。真数条件より、$x > 0$。

次に、$y$を微分して$y'$を求める。

$y' = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \log x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \log x}{x^2}$

$y'=0$となる$x$を求める。

$1 - \log x = 0$

$\log x = 1$

$x = e$

$y''$を求める。

$y'' = \frac{-\frac{1}{x}x^2 - (1 - \log x)(2x)}{x^4} = \frac{-x - 2x + 2x\log x}{x^4} = \frac{-3x + 2x\log x}{x^4} = \frac{-3 + 2\log x}{x^3}$

$x=e$のとき、$y = \frac{\log e}{e} = \frac{1}{e}$。

$x=e$のとき、$y'' = \frac{-3 + 2\log e}{e^3} = \frac{-3 + 2}{e^3} = -\frac{1}{e^3} < 0$なので、極大値を持つ。

$x=e$で極大値$\frac{1}{e}$を取る。

$y''=0$となる$x$を求める。

$-3 + 2\log x = 0$

$2\log x = 3$

$\log x = \frac{3}{2}$

$x = e^{3/2}$

$x=e^{3/2}$のとき、$y = \frac{\log e^{3/2}}{e^{3/2}} = \frac{3/2}{e^{3/2}} = \frac{3}{2e^{3/2}}$。

変曲点は$(e^{3/2}, \frac{3}{2e^{3/2}})$。

3. 最終的な答え

(1) 極大値: $0$ ($x=1$), 極小値: $-\frac{32}{27}$ ($x=\frac{7}{3}$), 変曲点: $(\frac{5}{3}, -\frac{16}{27})$

(2) 極小値: $0$ ($x=0$), 極大値: $\frac{1}{108}$ ($x=\frac{1}{6}$)

(3) 極大値: $\frac{1}{e}$ ($x=e$), 変曲点: $(e^{3/2}, \frac{3}{2e^{3/2}})$