与えられた5つの定積分の問題を解きます。 (1) $\int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{\sin x}}$ (2) $\int_0^e \log x dx$ (3) $\int_0^1 \frac{dx}{\sin x}$ (4) $\int_0^\infty \frac{dx}{\sqrt{1+x^2}}$ (5) $\int_0^\infty \frac{dx}{1+x^2}$

1. 問題の内容

与えられた5つの定積分の問題を解きます。

(1) $\int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{\sin x}}$

(2) $\int_0^e \log x dx$

(3) $\int_0^1 \frac{dx}{\sin x}$

(4) $\int_0^\infty \frac{dx}{\sqrt{1+x^2}}$

(5) $\int_0^\infty \frac{dx}{1+x^2}$

2. 解き方の手順

(1) $\int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{\sin x}}$

この積分は初等関数では表現できません。この積分は収束します。数値計算を行うか、特殊関数を用いて表現する必要があります。ここでは、具体的な値は求めず、収束性について述べるにとどめます。

$\sin x \approx x$ for small $x$. Thus, $\frac{1}{\sqrt{\sin x}} \approx \frac{1}{\sqrt{x}}$ near $x=0$.

$\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}dx = [2\sqrt{x}]_0^1 = 2 < \infty$. Therefore, the integral converges.

(2) $\int_0^e \log x dx$

部分積分を用います。$u = \log x$, $dv = dx$ とすると、$du = \frac{1}{x}dx$, $v = x$ となります。

$\int \log x dx = x\log x - \int x \cdot \frac{1}{x} dx = x\log x - \int dx = x\log x - x + C$.

したがって、

$\int_0^e \log x dx = [x\log x - x]_0^e = (e\log e - e) - \lim_{x \to 0} (x\log x - x) = (e - e) - (0 - 0) = 0$. ただし、$\lim_{x \to 0} x\log x = 0$ を用いました。

(3) $\int_0^1 \frac{dx}{\sin x}$

$\sin x \approx x$ for small $x$. Thus, $\frac{1}{\sin x} \approx \frac{1}{x}$ near $x=0$.

$\int_0^1 \frac{1}{x}dx = [\log x]_0^1 = \log 1 - \lim_{x \to 0} \log x = 0 - (-\infty) = \infty$.

Therefore, the integral diverges.

(4) $\int_0^\infty \frac{dx}{\sqrt{1+x^2}}$

$x = \sinh u$ と置換すると、$dx = \cosh u du$ となり、

$\sqrt{1+x^2} = \sqrt{1+\sinh^2 u} = \sqrt{\cosh^2 u} = \cosh u$

$\int_0^\infty \frac{dx}{\sqrt{1+x^2}} = \int_0^\infty \frac{\cosh u}{\cosh u} du = \int_0^\infty du = [u]_0^\infty = \infty$.

Therefore, the integral diverges.

(5) $\int_0^\infty \frac{dx}{1+x^2}$

$\int_0^\infty \frac{dx}{1+x^2} = [\arctan x]_0^\infty = \lim_{x \to \infty} \arctan x - \arctan 0 = \frac{\pi}{2} - 0 = \frac{\pi}{2}$.

3. 最終的な答え

(1) 収束する

(2) 0

(3) 発散する

(4) 発散する

(5) $\frac{\pi}{2}$