与えられた4つの二変数関数の、$(x, y) \to (0, 0)$における極限値を求めます。 (1) $\lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{x^2y}{x^2 + y^2}$ (2) $\lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{x^2 - 2y^2}{x^2 + y^2}$ (3) $\lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{x^2 + 2y^2}{2x^2 + y^2}$ (4) $\lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{x^3 + xy^2}{2x^2 + y^2}$

1. 問題の内容

与えられた4つの二変数関数の、$(x, y) \to (0, 0)$における極限値を求めます。

(1) $\lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{x^2y}{x^2 + y^2}$

(2) $\lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{x^2 - 2y^2}{x^2 + y^2}$

(3) $\lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{x^2 + 2y^2}{2x^2 + y^2}$

(4) $\lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{x^3 + xy^2}{2x^2 + y^2}$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{x^2y}{x^2 + y^2}$

極座標変換 $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ を用いると、

$$\lim_{r \to 0} \frac{r^2\cos^2\theta \cdot r\sin\theta}{r^2\cos^2\theta + r^2\sin^2\theta} = \lim_{r \to 0} \frac{r^3\cos^2\theta\sin\theta}{r^2} = \lim_{r \to 0} r\cos^2\theta\sin\theta$$

$|\cos^2\theta\sin\theta| \leq 1$なので、

$$\lim_{r \to 0} r\cos^2\theta\sin\theta = 0$$

(2) $\lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{x^2 - 2y^2}{x^2 + y^2}$

$y = 0$に沿って近づくと $\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{x^2} = 1$

$x = 0$に沿って近づくと $\lim_{y \to 0} \frac{-2y^2}{y^2} = -2$

近づく経路によって極限値が異なるため、極限は存在しません。

(3) $\lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{x^2 + 2y^2}{2x^2 + y^2}$

$y = 0$に沿って近づくと $\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{2x^2} = \frac{1}{2}$

$x = 0$に沿って近づくと $\lim_{y \to 0} \frac{2y^2}{y^2} = 2$

近づく経路によって極限値が異なるため、極限は存在しません。

(4) $\lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{x^3 + xy^2}{2x^2 + y^2}$

$x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ を用いると、

$$\lim_{r \to 0} \frac{r^3\cos^3\theta + r\cos\theta r^2\sin^2\theta}{2r^2\cos^2\theta + r^2\sin^2\theta} = \lim_{r \to 0} \frac{r^3\cos^3\theta + r^3\cos\theta\sin^2\theta}{r^2(2\cos^2\theta + \sin^2\theta)} = \lim_{r \to 0} \frac{r\cos\theta(\cos^2\theta + \sin^2\theta)}{2\cos^2\theta + \sin^2\theta} = \lim_{r \to 0} \frac{r\cos\theta}{2\cos^2\theta + \sin^2\theta}$$

$2\cos^2\theta + \sin^2\theta = 2\cos^2\theta + 1 - \cos^2\theta = \cos^2\theta + 1 \geq 1$ なので、

$\left| \frac{r\cos\theta}{2\cos^2\theta + \sin^2\theta} \right| \leq |r\cos\theta| \leq |r| \to 0$ (as $r \to 0$).

よって、

$$\lim_{r \to 0} \frac{r\cos\theta}{2\cos^2\theta + \sin^2\theta} = 0$$

3. 最終的な答え

(1) 0

(2) 極限は存在しない

(3) 極限は存在しない

(4) 0