$0 \le \theta < 2\pi$のとき、次の不等式、方程式を解け。 (1) $\cos\theta < \frac{1}{2}$ (2) $\tan(\theta - \frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$ (3) $2\cos^2\theta + \sin\theta - 1 = 0$

1. 問題の内容

$0 \le \theta < 2\pi$のとき、次の不等式、方程式を解け。

(1) $\cos\theta < \frac{1}{2}$

(2) $\tan(\theta - \frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$

(3) $2\cos^2\theta + \sin\theta - 1 = 0$

2. 解き方の手順

(1) $\cos\theta < \frac{1}{2}$

単位円で考え、$\cos\theta = \frac{1}{2}$となるのは$\theta = \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$。$\cos\theta < \frac{1}{2}$となる範囲は$\frac{\pi}{3} < \theta < \frac{5\pi}{3}$。

(2) $\tan(\theta - \frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$

$t = \theta - \frac{\pi}{3}$とおくと、$\tan t = \sqrt{3}$。

$0 \le \theta < 2\pi$より、$-\frac{\pi}{3} \le \theta - \frac{\pi}{3} < 2\pi - \frac{\pi}{3}$なので、$-\frac{\pi}{3} \le t < \frac{5\pi}{3}$。

$\tan t = \sqrt{3}$となる$t$は$t = \frac{\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}$。

$\theta - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3}$より$\theta = \frac{2\pi}{3}$。

$\theta - \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$より$\theta = \frac{5\pi}{3}$。

(3) $2\cos^2\theta + \sin\theta - 1 = 0$

$\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta$より、

$2(1 - \sin^2\theta) + \sin\theta - 1 = 0$

$2 - 2\sin^2\theta + \sin\theta - 1 = 0$

$-2\sin^2\theta + \sin\theta + 1 = 0$

$2\sin^2\theta - \sin\theta - 1 = 0$

$(2\sin\theta + 1)(\sin\theta - 1) = 0$

$\sin\theta = -\frac{1}{2}$または$\sin\theta = 1$。

$\sin\theta = -\frac{1}{2}$となる$\theta$は$\theta = \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}$。

$\sin\theta = 1$となる$\theta$は$\theta = \frac{\pi}{2}$。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\pi}{3} < \theta < \frac{5\pi}{3}$

(2) $\theta = \frac{2\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$

(3) $\theta = \frac{\pi}{2}, \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}$