関数 $f(x, y) = \sqrt{|xy|}$ が与えられたとき、その $x$ に関する偏微分 $f_x(x, y)$ が原点 $(0, 0)$ で連続でないことを示す。

1. 問題の内容

関数 $f(x, y) = \sqrt{|xy|}$ が与えられたとき、その $x$ に関する偏微分 $f_x(x, y)$ が原点 $(0, 0)$ で連続でないことを示す。

2. 解き方の手順

まず、$x$ に関する偏微分 $f_x(x, y)$ を計算する。

原点 $(0, 0)$ における偏微分を定義に従って計算する。

$f_x(0, 0)$ を計算する。

次に、原点以外の点 $(x, y)$ における $f_x(x, y)$ を計算する。

最後に、$f_x(x, y)$ が原点において連続でないことを示す。

$x \neq 0$ かつ $y \neq 0$ のとき、

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f(x,y) = \sqrt{|xy|} = \begin{cases}

\sqrt{xy} & xy \geq 0 \\

\sqrt{-xy} & xy < 0

\end{cases}

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$x=0$ または $y=0$ のとき、 $f(x,y) = 0$

原点における偏微分は定義に従い計算する:

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f_x(0,0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h,0) - f(0,0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{|h \cdot 0|} - 0}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{0}{h} = 0

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次に、$x \neq 0$ かつ $y \neq 0$ のときの $f_x(x, y)$ を計算する。

$xy>0$ のとき、$f(x, y) = \sqrt{xy}$ なので、

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f_x(x, y) = \frac{1}{2\sqrt{xy}} \cdot y = \frac{y}{2\sqrt{xy}}

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$xy<0$ のとき、$f(x, y) = \sqrt{-xy}$ なので、

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f_x(x, y) = \frac{1}{2\sqrt{-xy}} \cdot (-y) = -\frac{y}{2\sqrt{-xy}}

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したがって、

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f_x(x, y) = \begin{cases}

\frac{y}{2\sqrt{xy}} & xy > 0 \\

-\frac{y}{2\sqrt{-xy}} & xy < 0 \\

0 & x=0 \text{ または } y=0

\end{cases}

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ここで、$f_x(x, y)$ が原点 $(0, 0)$ で連続でないことを示す。

$x$ 軸に沿って原点に近づくと、$y = 0$ なので、$f_x(x, 0) = 0$。

$y = x > 0$ に沿って原点に近づくと、$f_x(x, x) = \frac{x}{2\sqrt{x^2}} = \frac{x}{2|x|} = \frac{1}{2}$。

$y = -x$ (ただし、$x < 0$)に沿って原点に近づくと、$f_x(x, -x) = -\frac{-x}{2\sqrt{-x(-x)}} = \frac{x}{2\sqrt{x^2}} = \frac{x}{2|x|} = -\frac{1}{2}$。

このように、原点への近づき方によって $f_x(x, y)$ の値が異なるため、$f_x(x, y)$ は原点で連続でない。

3. 最終的な答え

$f_x(x, y)$ は原点 $(0, 0)$ で連続でない。