$f(x, y) = \frac{\sin(xy)}{xy}$ は $xy \neq 0$ において連続です。なぜなら $\sin(u)/u$ は $u \neq 0$ で連続だからです。

##

1. 問題の内容

問題2：関数 $f(x, y)$ が与えられています。

$f(x,y) = \frac{\sin(xy)}{xy}$ ($xy \neq 0$の場合)

$f(x,y) = 1$ ($xy = 0$の場合)

この関数の連続性を調べる必要があります。

##

2. 解き方の手順

関数 $f(x, y)$ が連続であることを示すためには、任意の点 $(x_0, y_0)$ において $\lim_{(x, y) \to (x_0, y_0)} f(x, y) = f(x_0, y_0)$ が成り立つことを示す必要があります。

1. $xy \neq 0$ の場合:

$f(x, y) = \frac{\sin(xy)}{xy}$ は $xy \neq 0$ において連続です。なぜなら $\sin(u)/u$ は $u \neq 0$ で連続だからです。

2. $xy = 0$ の場合:

この場合、$f(x, y) = 1$ です。 $xy = 0$ となるのは、$x = 0$ または $y = 0$ の場合です。

$(x, y)$ が $(x_0, y_0)$ に近づくとき、$x_0 y_0 = 0$ となる場合を考えます。例えば、$x_0 = 0$ の場合を考えます。このとき、$x y$ は $0$ に近づきます。

$\lim_{xy \to 0} \frac{\sin(xy)}{xy} = 1$ であることを示す必要があります。

これは、$\lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1$ と同じです。

したがって、$xy \to 0$ のとき、$f(x, y) = \frac{\sin(xy)}{xy} \to 1$ となります。また、$f(x_0, y_0) = 1$ です。よって、$x_0 y_0 = 0$ の場合も連続です。

3. 上記から、関数 $f(x,y)$ はすべての点において連続であるといえます。

##

3. 最終的な答え

関数 $f(x, y)$ は連続である。