以下の4つの関数について、$n=4$ までの有限マクローリン展開を求めよ。 (1) $f(x) = \sin x$ (2) $f(x) = \sqrt{1+x}$ (3) $f(x) = x \sin x$ (4) $f(x) = \frac{x}{1+x}$

1. 問題の内容

以下の4つの関数について、$n=4$ までの有限マクローリン展開を求めよ。

(1) $f(x) = \sin x$

(2) $f(x) = \sqrt{1+x}$

(3) $f(x) = x \sin x$

(4) $f(x) = \frac{x}{1+x}$

2. 解き方の手順

マクローリン展開は、関数 $f(x)$ の $x=0$ におけるテイラー展開であり、以下の式で与えられます。

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f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \frac{f''''(0)}{4!}x^4 + \cdots

$$$$

$n=4$ までの有限マクローリン展開を求めるには、各関数の4次までの導関数を計算し、$x=0$ における値を求め、上記の式に代入します。

(1) $f(x) = \sin x$ の場合

$f(0) = \sin 0 = 0$

$f'(x) = \cos x$, $f'(0) = \cos 0 = 1$

$f''(x) = -\sin x$, $f''(0) = -\sin 0 = 0$

$f'''(x) = -\cos x$, $f'''(0) = -\cos 0 = -1$

$f''''(x) = \sin x$, $f''''(0) = \sin 0 = 0$

よって、

$$$$

\sin x = 0 + 1 \cdot x + \frac{0}{2!}x^2 + \frac{-1}{3!}x^3 + \frac{0}{4!}x^4 + \cdots = x - \frac{x^3}{6} + \cdots

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(2) $f(x) = \sqrt{1+x} = (1+x)^{\frac{1}{2}}$ の場合

$f(0) = \sqrt{1+0} = 1$

$f'(x) = \frac{1}{2}(1+x)^{-\frac{1}{2}}$, $f'(0) = \frac{1}{2}$

$f''(x) = -\frac{1}{4}(1+x)^{-\frac{3}{2}}$, $f''(0) = -\frac{1}{4}$

$f'''(x) = \frac{3}{8}(1+x)^{-\frac{5}{2}}$, $f'''(0) = \frac{3}{8}$

$f''''(x) = -\frac{15}{16}(1+x)^{-\frac{7}{2}}$, $f''''(0) = -\frac{15}{16}$

よって、

$$$$

\sqrt{1+x} = 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{4}\frac{x^2}{2!} + \frac{3}{8}\frac{x^3}{3!} - \frac{15}{16}\frac{x^4}{4!} + \cdots = 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{16}x^3 - \frac{5}{128}x^4 + \cdots

$$$$

(3) $f(x) = x \sin x$ の場合

$\sin x$ のマクローリン展開を利用する。

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x \sin x = x(x - \frac{x^3}{3!} + \cdots) = x^2 - \frac{x^4}{6} + \cdots

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(4) $f(x) = \frac{x}{1+x}$ の場合

$\frac{1}{1+x} = 1 - x + x^2 - x^3 + x^4 + \cdots$ を利用する。

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\frac{x}{1+x} = x(1 - x + x^2 - x^3 + x^4 + \cdots) = x - x^2 + x^3 - x^4 + \cdots

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3. 最終的な答え

(1) $\sin x = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)$

(2) $\sqrt{1+x} = 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{16}x^3 - \frac{5}{128}x^4 + O(x^5)$

(3) $x \sin x = x^2 - \frac{x^4}{6} + O(x^6)$

(4) $\frac{x}{1+x} = x - x^2 + x^3 - x^4 + O(x^5)$