極限 $\lim_{x \to -\infty} x(\sqrt{3-x} - x)$ を計算します。

1. 問題の内容

極限 $\lim_{x \to -\infty} x(\sqrt{3-x} - x)$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{3-x} - x$ の部分に注目します。$x \to -\infty$のとき、$\sqrt{3-x}$と$x$はともに絶対値が大きくなり、その差を直接計算することが難しいです。そこで、この部分を有理化することを試みます。

$\sqrt{3-x} - x = \frac{(\sqrt{3-x} - x)(\sqrt{3-x} + x)}{\sqrt{3-x} + x} = \frac{(3-x) - x^2}{\sqrt{3-x} + x} = \frac{-x^2 - x + 3}{\sqrt{3-x} + x}$

したがって、極限は次のように書き換えられます。

$\lim_{x \to -\infty} x \left( \frac{-x^2 - x + 3}{\sqrt{3-x} + x} \right) = \lim_{x \to -\infty} \frac{-x^3 - x^2 + 3x}{\sqrt{3-x} + x}$

ここで、$x = -t$ とおくと、$x \to -\infty$ のとき $t \to \infty$ となります。したがって、

$\lim_{x \to -\infty} \frac{-x^3 - x^2 + 3x}{\sqrt{3-x} + x} = \lim_{t \to \infty} \frac{-(-t)^3 - (-t)^2 + 3(-t)}{\sqrt{3-(-t)} + (-t)} = \lim_{t \to \infty} \frac{t^3 - t^2 - 3t}{\sqrt{3+t} - t}$

分子と分母を$t$で割ります。

$\lim_{t \to \infty} \frac{t^2 - t - 3}{\frac{\sqrt{3+t}}{t} - 1} = \lim_{t \to \infty} \frac{t^2 - t - 3}{\sqrt{\frac{3+t}{t^2}} - 1} = \lim_{t \to \infty} \frac{t^2 - t - 3}{\sqrt{\frac{3}{t^2} + \frac{1}{t}} - 1}$

$t \to \infty$のとき、$\frac{3}{t^2} \to 0$ および $\frac{1}{t} \to 0$ なので、$\sqrt{\frac{3}{t^2} + \frac{1}{t}} \to 0$。

したがって、$\lim_{t \to \infty} \frac{t^2 - t - 3}{\sqrt{\frac{3}{t^2} + \frac{1}{t}} - 1} = \frac{\infty}{0-1} = -\infty$

3. 最終的な答え

$-\infty$