3重積分 $\iiint_D z \, dx \, dy \, dz$ を、領域 $D = \{(x, y, z) \, | \, x^2 + y^2 + z^2 \le 1, z \ge 0\}$ 上で求める。

1. 問題の内容

3重積分 $\iiint_D z \, dx \, dy \, dz$ を、領域 $D = \{(x, y, z) \, | \, x^2 + y^2 + z^2 \le 1, z \ge 0\}$ 上で求める。

2. 解き方の手順

球座標変換を行う。

$x = \rho \sin\phi \cos\theta$

$y = \rho \sin\phi \sin\theta$

$z = \rho \cos\phi$

ここで、ヤコビアンは

$J = \rho^2 \sin\phi$

となる。

領域Dは、$x^2 + y^2 + z^2 \le 1$ と $z \ge 0$ を満たすので、球座標では以下のように表される。

$0 \le \rho \le 1$

$0 \le \theta \le 2\pi$

$0 \le \phi \le \frac{\pi}{2}$

したがって、3重積分は以下のように変換できる。

$\iiint_D z \, dx \, dy \, dz = \int_0^{2\pi} \int_0^{\pi/2} \int_0^1 (\rho \cos\phi) \rho^2 \sin\phi \, d\rho \, d\phi \, d\theta$

積分を計算する。

$\int_0^{2\pi} \int_0^{\pi/2} \int_0^1 \rho^3 \cos\phi \sin\phi \, d\rho \, d\phi \, d\theta = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^{\pi/2} \cos\phi \sin\phi \, d\phi \int_0^1 \rho^3 \, d\rho$

まず、$\int_0^{2\pi} d\theta = 2\pi$

次に、$\int_0^{\pi/2} \cos\phi \sin\phi \, d\phi = \left[ \frac{1}{2}\sin^2\phi \right]_0^{\pi/2} = \frac{1}{2}(1^2 - 0^2) = \frac{1}{2}$

最後に、$\int_0^1 \rho^3 \, d\rho = \left[ \frac{1}{4}\rho^4 \right]_0^1 = \frac{1}{4}(1^4 - 0^4) = \frac{1}{4}$

したがって、

$\iiint_D z \, dx \, dy \, dz = 2\pi \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{\pi}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{4}$