関数 $z = xy(2x+3y)$ の2次偏導関数 $z_{xx}, z_{yy}, z_{xy}, z_{yx}$ を求め、$z_{xy} = z_{yx}$ が成り立つことを確認します。

問題7の(1)を解きます。

1. 問題の内容

関数 $z = xy(2x+3y)$ の2次偏導関数 $z_{xx}, z_{yy}, z_{xy}, z_{yx}$ を求め、$z_{xy} = z_{yx}$ が成り立つことを確認します。

2. 解き方の手順

まず、$z$ を展開します。

$z = 2x^2y + 3xy^2$

次に、1次偏導関数を求めます。

$z_x = \frac{\partial z}{\partial x} = 4xy + 3y^2$

$z_y = \frac{\partial z}{\partial y} = 2x^2 + 6xy$

次に、2次偏導関数を求めます。

$z_{xx} = \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x}(4xy + 3y^2) = 4y$

$z_{yy} = \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y}(2x^2 + 6xy) = 6x$

$z_{xy} = \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial y}(4xy + 3y^2) = 4x + 6y$

$z_{yx} = \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial x}(2x^2 + 6xy) = 4x + 6y$

$z_{xy} = z_{yx} = 4x + 6y$ であることが確認できました。

3. 最終的な答え

$z_{xx} = 4y$

$z_{yy} = 6x$

$z_{xy} = 4x + 6y$

$z_{yx} = 4x + 6y$

$z_{xy} = z_{yx}$ が成り立つ。