$\lim_{x \to 0} \frac{\log_e (1 + \sin x)}{\sin x}$ を求めよ。ここで、$\log_e$ は自然対数（底が $e$ の対数）を表します。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} \frac{\log_e (1 + \sin x)}{\sin x}$ を求めよ。ここで、$\log_e$ は自然対数（底が $e$ の対数）を表します。

2. 解き方の手順

この極限を求めるために、いくつかの方法が考えられます。

方法1: 合成関数の極限の性質を利用する

$u = \sin x$ と置くと、$x \to 0$ のとき $u \to 0$ となります。

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{\log_e (1 + \sin x)}{\sin x} = \lim_{u \to 0} \frac{\log_e (1 + u)}{u}$

ここで、$\lim_{u \to 0} \frac{\log_e (1 + u)}{u} = 1$ (これは良く知られた極限です)

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{\log_e (1 + \sin x)}{\sin x} = 1$

方法2: ロピタルの定理を利用する

$\lim_{x \to 0} \log_e(1 + \sin x) = \log_e(1 + \sin 0) = \log_e(1 + 0) = \log_e(1) = 0$

$\lim_{x \to 0} \sin x = \sin 0 = 0$

なので、与えられた極限は $\frac{0}{0}$ の不定形です。

したがって、ロピタルの定理を適用することができます。

$\frac{d}{dx} \log_e (1 + \sin x) = \frac{1}{1 + \sin x} \cdot \cos x = \frac{\cos x}{1 + \sin x}$

$\frac{d}{dx} \sin x = \cos x$

$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{\cos x}{1 + \sin x}}{\cos x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{(1 + \sin x) \cos x} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{1 + \sin x}$

ここで、$\lim_{x \to 0} \sin x = 0$ なので、

$\lim_{x \to 0} \frac{1}{1 + \sin x} = \frac{1}{1 + 0} = 1$

方法3: マクローリン展開を利用する

$\sin x = x + O(x^3)$

$\log_e (1 + x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + O(x^4)$

$\log_e(1 + \sin x) = \sin x - \frac{(\sin x)^2}{2} + ... = x - \frac{x^2}{2} + O(x^3)$

$\lim_{x \to 0} \frac{\log_e (1 + \sin x)}{\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{x + O(x^2)}{x + O(x^3)} = \lim_{x \to 0} \frac{1 + O(x)}{1 + O(x^2)} = 1$

3. 最終的な答え

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