以下の定積分を計算します。 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{\sin x \cos x}$

1. 問題の内容

以下の定積分を計算します。

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{\sin x \cos x}$

2. 解き方の手順

まず、$\sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x$ を用いて積分を書き換えます。

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{\sin x \cos x} = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{2}{\sin 2x} dx$

ここで、$u = 2x$ と置換すると、$du = 2dx$ となり、$dx = \frac{1}{2}du$ です。また、積分範囲は、$x=0$ のとき $u=0$、$x=\frac{\pi}{2}$ のとき $u=\pi$ となります。

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{2}{\sin 2x} dx = \int_{0}^{\pi} \frac{1}{\sin u} du$

さらに積分範囲を半分にして、

$\int_{0}^{\pi} \frac{1}{\sin u} du = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sin u} du$

ここで、$\sin u = 2 \sin \frac{u}{2} \cos \frac{u}{2}$ であるから、

$2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sin u} du = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{2 \sin \frac{u}{2} \cos \frac{u}{2}} du = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sin \frac{u}{2} \cos \frac{u}{2}} du$

$\tan \frac{u}{2} = t$ と置換すると、$du = \frac{2 dt}{1+t^2}$　また、$\sin \frac{u}{2} = \frac{t}{\sqrt{1+t^2}}$　$\cos \frac{u}{2} = \frac{1}{\sqrt{1+t^2}}$となり、

$\sin \frac{u}{2} \cos \frac{u}{2} = \frac{t}{1+t^2}$

$\int \frac{1}{\sin \frac{u}{2} \cos \frac{u}{2}} du = \int \frac{1+t^2}{t} \frac{2}{1+t^2} dt = 2 \int \frac{dt}{t} = 2 \ln |t| + C = 2 \ln |\tan \frac{u}{2}| + C$

$u = 0$ のとき $t = 0$、$u = \frac{\pi}{2}$ のとき $t = 1$ であるから、

$2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sin u} du = \lim_{a \to 0} \int_{a}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sin u} du = \lim_{a \to 0} [ 2 \ln |\tan \frac{u}{2}| ]_{a}^{\frac{\pi}{2}} = \lim_{a \to 0} [ 2 \ln |\tan \frac{\pi}{4}| - 2 \ln |\tan \frac{a}{2}| ] = \lim_{a \to 0} [ 2 \ln 1 - 2 \ln |\tan \frac{a}{2}| ] = \lim_{a \to 0} [ - 2 \ln |\tan \frac{a}{2}| ] = \infty$

よって、積分は発散する。

3. 最終的な答え

発散する