次の極限を求める問題です。 $\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x+1}\right)^x$

1. 問題の内容

次の極限を求める問題です。

$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x+1}\right)^x$

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を変形します。

$\frac{x}{x+1}$ を $1 + \frac{-1}{x+1}$ と書き換えることができます。

$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{-1}{x+1}\right)^x$

ここで、$y = x+1$ と置くと、$x = y-1$ となります。$x \to \infty$ のとき、$y \to \infty$ なので、

$\lim_{y \to \infty} \left(1 + \frac{-1}{y}\right)^{y-1}$

$\lim_{y \to \infty} \left(1 - \frac{1}{y}\right)^{y} \left(1 - \frac{1}{y}\right)^{-1}$

ここで、$\lim_{y \to \infty} \left(1 - \frac{1}{y}\right)^{y} = e^{-1}$ であり、$\lim_{y \to \infty} \left(1 - \frac{1}{y}\right)^{-1} = 1$ であることを利用します。

$\lim_{y \to \infty} \left(1 - \frac{1}{y}\right)^{y} \cdot \lim_{y \to \infty} \left(1 - \frac{1}{y}\right)^{-1} = e^{-1} \cdot 1 = e^{-1}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{e}$