与えられた5つの広義積分について、その収束・発散を判定する問題です。各積分は以下の通りです。 (1) $\int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{\sin x}}$ (2) $\int_0^e \log x dx$ (3) $\int_0^1 \frac{dx}{\sin x}$ (4) $\int_0^\infty \frac{dx}{\sqrt{1+x^2}}$ (5) $\int_0^\infty \frac{dx}{1+x^2}$ 画像には、それぞれの広義積分の収束・発散判定に関する解答と解説が示されています。

1. 問題の内容

与えられた5つの広義積分について、その収束・発散を判定する問題です。各積分は以下の通りです。

(1) $\int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{\sin x}}$

(2) $\int_0^e \log x dx$

(3) $\int_0^1 \frac{dx}{\sin x}$

(4) $\int_0^\infty \frac{dx}{\sqrt{1+x^2}}$

(5) $\int_0^\infty \frac{dx}{1+x^2}$

画像には、それぞれの広義積分の収束・発散判定に関する解答と解説が示されています。

2. 解き方の手順

与えられた解答と解説に基づいて、各積分の収束・発散判定の手順を説明します。

(1) $\int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{\sin x}}$

$x \to 0$のとき、$\sin x \sim x$であるため、$\int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{\sin x}}$の積分は、$\int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{x}}$の積分と同程度に振る舞います。解答では、$x^\alpha$を用いて評価しています。

$\lim_{x\to 0} \frac{x^\alpha}{\sqrt{\sin x}} = \lim_{x\to 0} \frac{x^{\alpha-1/2}}{\sqrt{\frac{\sin x}{x}}}$となります。

$\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x}=1$ですので、

$\lim_{x\to 0} x^{\alpha - 1/2}$を評価します。

$\alpha < 1/2$のとき、$\lim_{x\to 0} x^{\alpha - 1/2} = \infty$。

$\alpha = 1/2$のとき、$\lim_{x\to 0} x^{\alpha - 1/2} = 1$。

$\alpha > 1/2$のとき、$\lim_{x\to 0} x^{\alpha - 1/2} = 0$。

$\alpha < 1/2$のとき、広義積分は収束します。

(2) $\int_0^e \log x dx$

$\lim_{x \to 0} x^\alpha \log x = 0$ ($\alpha > 0$)となることを利用します（ロピタルの定理を用いるなどして示すことができます）。したがって、広義積分は収束します。

(3) $\int_0^1 \frac{dx}{\sin x}$

$x \to 0$のとき、$\sin x \sim x$であるため、$\int_0^1 \frac{dx}{\sin x}$の積分は、$\int_0^1 \frac{dx}{x}$の積分と同程度に振る舞います。解答では、$x^\alpha$を用いて評価しています。

$\lim_{x\to 0} \frac{x^\alpha}{\sin x}$を評価します。

$\alpha < 1$のとき、$\lim_{x\to 0} \frac{x^\alpha}{\sin x} = \infty$。

$\alpha = 1$のとき、$\lim_{x\to 0} \frac{x}{\sin x} = 1$。

$\alpha > 1$のとき、$\lim_{x\to 0} \frac{x^\alpha}{\sin x} = 0$。

広義積分は発散します。

(4) $\int_0^\infty \frac{dx}{\sqrt{1+x^2}}$

$x \to \infty$のとき、$\frac{1}{\sqrt{1+x^2}} \sim \frac{1}{x}$であるため、$\int_0^\infty \frac{dx}{\sqrt{1+x^2}}$の積分は、$\int_1^\infty \frac{dx}{x}$の積分と同程度に振る舞います。

$\lim_{x\to\infty} \frac{x^\alpha}{\sqrt{1+x^2}} = \lim_{x\to\infty} \frac{x^{\alpha-1}}{\sqrt{1+(1/x^2)}}$を評価します。

$\alpha < 1$のとき、$\lim_{x\to\infty} \frac{x^{\alpha-1}}{\sqrt{1+(1/x^2)}} = 0$。

$\alpha = 1$のとき、$\lim_{x\to\infty} \frac{x^{\alpha-1}}{\sqrt{1+(1/x^2)}} = 1$。

$\alpha > 1$のとき、$\lim_{x\to\infty} \frac{x^{\alpha-1}}{\sqrt{1+(1/x^2)}} = \infty$。

広義積分は発散します。

(5) $\int_0^\infty \frac{dx}{1+x^2}$

$x \to \infty$のとき、$\frac{1}{1+x^2} \sim \frac{1}{x^2}$であるため、$\int_0^\infty \frac{dx}{1+x^2}$の積分は、$\int_1^\infty \frac{dx}{x^2}$の積分と同程度に振る舞います。

$\lim_{x\to\infty} \frac{x^\alpha}{1+x^2} = \lim_{x\to\infty} \frac{x^{\alpha-2}}{1+(1/x^2)}$を評価します。

$\alpha < 2$のとき、$\lim_{x\to\infty} \frac{x^{\alpha-2}}{1+(1/x^2)} = 0$。

$\alpha = 2$のとき、$\lim_{x\to\infty} \frac{x^{\alpha-2}}{1+(1/x^2)} = 1$。

$\alpha > 2$のとき、$\lim_{x\to\infty} \frac{x^{\alpha-2}}{1+(1/x^2)} = \infty$。

広義積分は収束します。

3. 最終的な答え

(1) 収束

(2) 収束

(3) 発散

(4) 発散

(5) 収束