$\lim_{x \to \infty} (1 - \frac{2}{x})^x$ を求める問題です。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to \infty} (1 - \frac{2}{x})^x$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

この極限を求めるために、指数関数と対数関数を利用します。

まず、与えられた式を $y$ とおきます。

$y = (1 - \frac{2}{x})^x$

両辺の自然対数をとります。

$\ln{y} = \ln{(1 - \frac{2}{x})^x} = x \ln{(1 - \frac{2}{x})}$

ここで、$\lim_{x \to \infty} \ln{y} = \lim_{x \to \infty} x \ln{(1 - \frac{2}{x})}$ を計算します。

$\lim_{x \to \infty} x \ln{(1 - \frac{2}{x})} = \lim_{x \to \infty} \frac{\ln{(1 - \frac{2}{x})}}{\frac{1}{x}}$

この式は $\frac{0}{0}$ の不定形であるため、ロピタルの定理を適用します。

$\lim_{x \to \infty} \frac{\ln{(1 - \frac{2}{x})}}{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1 - \frac{2}{x}} \cdot \frac{2}{x^2}}{-\frac{1}{x^2}} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{x^2(1 - \frac{2}{x})}}{-\frac{1}{x^2}}$

$= \lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^2(1 - \frac{2}{x})} \cdot (-x^2) = \lim_{x \to \infty} \frac{-2}{1 - \frac{2}{x}}$

$x \to \infty$ のとき、$\frac{2}{x} \to 0$ であるから

$\lim_{x \to \infty} \frac{-2}{1 - \frac{2}{x}} = \frac{-2}{1 - 0} = -2$

したがって、$\lim_{x \to \infty} \ln{y} = -2$ です。

両辺の指数関数をとると、$\lim_{x \to \infty} y = e^{-2}$ となります。

3. 最終的な答え

$e^{-2}$