与えられた関数 $y = \frac{(x-1)^3(x-3)^5}{\sqrt{x-2}}$ の微分 $y'$ を求めます。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = \frac{(x-1)^3(x-3)^5}{\sqrt{x-2}}$ の微分 $y'$ を求めます。

2. 解き方の手順

まず、両辺の自然対数を取ります。

$\ln y = \ln \left( \frac{(x-1)^3(x-3)^5}{\sqrt{x-2}} \right)$

対数の性質を用いて、式を整理します。

$\ln y = \ln( (x-1)^3 ) + \ln( (x-3)^5 ) - \ln( \sqrt{x-2} )$

$\ln y = 3\ln(x-1) + 5\ln(x-3) - \frac{1}{2}\ln(x-2)$

両辺を $x$ で微分します。

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{3}{x-1} + \frac{5}{x-3} - \frac{1}{2(x-2)}$

$\frac{dy}{dx}$ について解きます。

$\frac{dy}{dx} = y \left( \frac{3}{x-1} + \frac{5}{x-3} - \frac{1}{2(x-2)} \right)$

$y$ に元の関数を代入します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{(x-1)^3(x-3)^5}{\sqrt{x-2}} \left( \frac{3}{x-1} + \frac{5}{x-3} - \frac{1}{2(x-2)} \right)$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{(x-1)^3(x-3)^5}{\sqrt{x-2}} \left( \frac{3}{x-1} + \frac{5}{x-3} - \frac{1}{2(x-2)} \right)$