$\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - e^{-x}}{x}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - e^{-x}}{x}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

ロピタルの定理を用いる方法と、テイラー展開を用いる方法の2通りで解きます。

**方法1：ロピタルの定理**

$x \to 0$ のとき、分子は $e^{2(0)} - e^{-0} = 1 - 1 = 0$ に、分母は $0$ に近づくため、$\frac{0}{0}$ の不定形です。したがって、ロピタルの定理を適用できます。

分子と分母をそれぞれ $x$ で微分します。

分子の微分: $\frac{d}{dx}(e^{2x} - e^{-x}) = 2e^{2x} + e^{-x}$

分母の微分: $\frac{d}{dx}(x) = 1$

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - e^{-x}}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{2e^{2x} + e^{-x}}{1}$

$x \to 0$ を代入すると、

$2e^{2(0)} + e^{-0} = 2(1) + 1 = 3$

**方法2：テイラー展開**

$e^x$ の $x=0$ 周りのテイラー展開は、

$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$ です。

したがって、

$e^{2x} = 1 + 2x + \frac{(2x)^2}{2!} + \frac{(2x)^3}{3!} + \cdots = 1 + 2x + 2x^2 + \frac{4}{3}x^3 + \cdots$

$e^{-x} = 1 - x + \frac{(-x)^2}{2!} + \frac{(-x)^3}{3!} + \cdots = 1 - x + \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{6} + \cdots$

これらを用いると、

$e^{2x} - e^{-x} = (1 + 2x + 2x^2 + \cdots) - (1 - x + \frac{x^2}{2} - \cdots) = 3x + \frac{3}{2}x^2 + \cdots$

$\frac{e^{2x} - e^{-x}}{x} = \frac{3x + \frac{3}{2}x^2 + \cdots}{x} = 3 + \frac{3}{2}x + \cdots$

$\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - e^{-x}}{x} = \lim_{x \to 0} (3 + \frac{3}{2}x + \cdots) = 3$

3. 最終的な答え

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