関数 $f(x) = 2x^2$ について、以下の問いに答えます。 (1) 平均変化率と微分係数を求める問題。 (2) 放物線 $y = f(x)$ 上の点Pにおける接線の方程式、接線と軸との交点Qの座標、Qを通り接線に垂直な直線の方程式、三角形APQの面積を求める問題。 (3) $a>0$ の範囲におけるS-Tの値について調べる問題。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = 2x^2$ について、以下の問いに答えます。

(1) 平均変化率と微分係数を求める問題。

(2) 放物線 $y = f(x)$ 上の点Pにおける接線の方程式、接線と軸との交点Qの座標、Qを通り接線に垂直な直線の方程式、三角形APQの面積を求める問題。

(3) $a>0$ の範囲におけるS-Tの値について調べる問題。

2. 解き方の手順

(1) $h$ が $0$ でないとき、$x$ が $a$ から $a+h$ まで変化するときの $f(x)$ の平均変化率は、

$\frac{f(a+h) - f(a)}{h} = \frac{2(a+h)^2 - 2a^2}{h} = \frac{2(a^2 + 2ah + h^2) - 2a^2}{h} = \frac{4ah + 2h^2}{h} = 4a + 2h$

したがって、アは $4a + 2h$ です。

$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} = \lim_{h \to 0} (4a + 2h) = 4a$

したがって、ウは $4a$ です。

(2)

(i) $f'(x) = 4x$ なので、点Pにおける接線の傾きは $4a$。

したがって、接線の方程式は $y - 2a^2 = 4a(x-a)$, つまり $y = 4ax - 4a^2 + 2a^2 = 4ax - 2a^2$。

よって、エは $4a$、オは $2a^2$。

(ii) 接線と $y$ 軸との交点は $x=0$ より $y = -2a^2$。

したがって、点Qの座標は $(0, -2a^2)$。

よって、カは $0$、キは $-2a^2$。

(iii) 点Qを通り接線に垂直な直線の傾きは $-\frac{1}{4a}$。

したがって、直線の方程式は $y - (-2a^2) = -\frac{1}{4a}(x - 0)$, つまり $y = -\frac{1}{4a}x - 2a^2$。

よって、ケは $-\frac{1}{4a}$、コは $-2a^2$。

(iv) 三角形APQの頂点の座標は $A(0, -\frac{1}{4a})$, $P(a, 2a^2)$, $Q(0, -2a^2)$

$AP = 2a^2 - (-2a^2) = 4a^2$

$AQ = 0-0 = 0$

Sは三角形APQの面積である。

$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot (2a^2 - (-2a^2)) = \frac{1}{2} \cdot a \cdot (4a^2) = 2a^3$

$S=\frac{1}{2} \times 底辺 \times 高さ$

底辺をAQだとすると, $AQ=|-2a^2+\frac{1}{4a}|=|2a^2-\frac{1}{4a}|$

高さをPから直線AQまでの距離とする。Pの座標は(a,2a^2)。直線AQはx=0だから高さをaとする。

よって$S=\frac{1}{2}a|2a^2-\frac{1}{4a}|=|a^3-\frac{1}{8}|$

サシは解けません。

(v) $T = \int_{0}^{a} (2x^2 - (4ax - 2a^2)) dx = \int_{0}^{a} (2x^2 - 4ax + 2a^2) dx = [\frac{2}{3}x^3 - 2ax^2 + 2a^2x]_0^a = \frac{2}{3}a^3 - 2a^3 + 2a^3 = \frac{2}{3}a^3$

Tはx軸と曲線C及び直線lによって囲まれた図形の面積を表します。

(3)

$S-T = 2a^3 - \frac{2}{3}a^3 = \frac{4}{3}a^3$

$S-T > 0$ となるような $a$ の値の範囲は $a > 0$。

$\frac{d}{da}(S-T) = \frac{d}{da}(\frac{4}{3}a^3) = 4a^2$

$a>0$ で $S-T$ は単調増加なので最大値は存在しません。

3. 最終的な答え

(1) ア: $4a + 2h$、ウ: $4a$

(2) (i) エ: $4a$、オ: $2a^2$

(ii) カ: $0$、キ: $-2a^2$

(iii) ケ: $-\frac{1}{4a}$、コ: $-2a^2$

(iv) サシ: 解けません

(v) ソ: ②

(3) チ: $a>0$、トナニヌネノ: 最大値なし