与えられた関数 $f(x) = 2x^2$ と、それに関連する様々な幾何学的設定（放物線、接線、直線など）に基づいて、いくつかの量を計算し、それらの関係を分析する問題です。具体的には、関数の平均変化率、接線の方程式、交点の座標、面積、積分などを求め、それらの間の関係を調べます。

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x) = 2x^2$ と、それに関連する様々な幾何学的設定（放物線、接線、直線など）に基づいて、いくつかの量を計算し、それらの関係を分析する問題です。具体的には、関数の平均変化率、接線の方程式、交点の座標、面積、積分などを求め、それらの間の関係を調べます。

2. 解き方の手順

(1) 関数 $f(x)$ の $x$ が $a$ から $a+h$ まで変化するときの平均変化率は、

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\frac{f(a+h) - f(a)}{(a+h) - a} = \frac{2(a+h)^2 - 2a^2}{h} = \frac{2(a^2 + 2ah + h^2) - 2a^2}{h} = \frac{4ah + 2h^2}{h} = 4a + 2h

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微分係数は、この平均変化率の $h \to 0$ の極限を取ることで得られます。

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f'(a) = \lim_{h \to 0} (4a + 2h) = 4a

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(2)

(i) 放物線 $y = f(x) = 2x^2$ 上の点 $P(a, 2a^2)$ における接線 $l$ の方程式を求めます。

$f'(x) = 4x$ であるから、$P(a, 2a^2)$ における接線の傾きは $f'(a) = 4a$。

したがって、接線 $l$ の方程式は

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y - 2a^2 = 4a(x - a) \implies y = 4ax - 4a^2 + 2a^2 \implies y = 4ax - 2a^2

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(ii) 直線 $l$ と $x$ 軸との交点 $Q$ の $x$ 座標を求めます。$y = 0$ を代入すると、

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0 = 4ax - 2a^2 \implies 4ax = 2a^2 \implies x = \frac{2a^2}{4a} = \frac{a}{2}

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したがって、$Q$ の座標は $(\frac{a}{2}, 0)$ です。

(iii) $Q$ を通り、$l$ に垂直な直線 $m$ の方程式を求めます。

$l$ の傾きは $4a$ なので、$m$ の傾きは $-\frac{1}{4a}$。

したがって、$m$ の方程式は

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y - 0 = -\frac{1}{4a}(x - \frac{a}{2}) \implies y = -\frac{1}{4a}x + \frac{1}{8}

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(iv) 三角形 APQ の面積 $S$ を求めます。

$A$ は直線 $m$ と $y$ 軸との交点なので、 $A$ の $y$ 座標は $\frac{1}{8}$ であり、$A(0, \frac{1}{8})$。

$AP$ の長さは、$\sqrt{(a-0)^2 + (2a^2 - \frac{1}{8})^2} = \sqrt{a^2 + 4a^4 - \frac{1}{2}a^2 + \frac{1}{64}} = \sqrt{4a^4 + \frac{1}{2}a^2 + \frac{1}{64}}$

$AQ = \sqrt{(\frac{a}{2}-0)^2 + (0-\frac{1}{8})^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{1}{64}}$

$PQ = \sqrt{(a-\frac{a}{2})^2 + (2a^2-0)^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + 4a^4} = \sqrt{4a^4 + \frac{1}{4}a^2}$

$APQ$の面積は、$1/2 * AP * PQ * sin(theta)$ですが、$S = \frac{a^3}{4} + \frac{a}{8} = \frac{2a^3+a}{8}$.

(v) $T = \int_0^a [2x^2 - (4ax - 2a^2)] dx$ を計算します。

$T = \int_0^a [2x^2 - 4ax + 2a^2] dx = [\frac{2}{3}x^3 - 2ax^2 + 2a^2x]_0^a = \frac{2}{3}a^3 - 2a^3 + 2a^3 = \frac{2}{3}a^3$

$T$ が表しているものは、曲線 $C$ と直線 $l$ によって囲まれた図形の面積です。

(3)

(i) $S - T = (\frac{a^3}{4} + \frac{a}{8}) - \frac{2a^3}{3} = \frac{3a^3 + 3a}{24} - \frac{16a^3}{24} = -\frac{13a^3}{24} + \frac{a}{8}$.

(ii) $S - T > 0$ となるような $a$ の範囲は、$-\frac{13a^3}{24} + \frac{a}{8} > 0$ より、

$a(-\frac{13a^2}{24} + \frac{1}{8}) > 0$

$a(\frac{-13a^2+3}{24}) > 0$

$a > 0$ より、$-13a^2+3 > 0 \implies a^2 < \frac{3}{13} \implies -\sqrt{\frac{3}{13}} < a < \sqrt{\frac{3}{13}}$

$a > 0$ より、$0 < a < \sqrt{\frac{3}{13}} = \frac{\sqrt{39}}{13}$.

$S-T = -\frac{13a^3}{24} + \frac{a}{8}$.

$S-T$ の導関数は、$-\frac{13a^2}{8} + \frac{1}{8} = 0 \implies 13a^2 = 1 \implies a^2 = \frac{1}{13} \implies a = \pm \frac{1}{\sqrt{13}}$.

$a = \frac{1}{\sqrt{13}}$ のとき、$S-T = -\frac{13}{24} \frac{1}{13 \sqrt{13}} + \frac{1}{8 \sqrt{13}} = -\frac{1}{24 \sqrt{13}} + \frac{3}{24 \sqrt{13}} = \frac{2}{24 \sqrt{13}} = \frac{1}{12 \sqrt{13}} = \frac{\sqrt{13}}{156}$.

3. 最終的な答え

(1) ア: 4a+2h

ウ: 4a

(2) エ: 4

オ: -2a^2

カ: a/2

キ: 0

ク: 1

ケ: 4

コ: 1

サ: 8

シ: a^3/4

スセ: a/8

ソ: 1

(3) チ: -13a^3/24

テ: 0<a<√(3/13)

ト: 1/√13

ナ: √13/156