与えられた累次積分の積分順序を交換し、その値を求めよ。 (1) $\int_{0}^{1} dx \int_{x^2}^{1} \sqrt{y^2+y} dy$ (2) $\int_{1}^{2} dx \int_{1/x}^{1} dy$

1. 問題の内容

与えられた累次積分の積分順序を交換し、その値を求めよ。

(1) $\int_{0}^{1} dx \int_{x^2}^{1} \sqrt{y^2+y} dy$

(2) $\int_{1}^{2} dx \int_{1/x}^{1} dy$

2. 解き方の手順

(1)

まず、積分領域を特定する。

$0 \le x \le 1$

$x^2 \le y \le 1$

これらの不等式から、積分領域は$y=x^2$の下側、y=1の下側、x=0の右側、x=1の左側の領域である。

積分順序を交換するために、$x$を$y$で表す。

$x^2 \le y$ より、$x \le \sqrt{y}$ となる。また、$x \ge 0$ であることに注意する。

したがって、$0 \le x \le \sqrt{y}$ となる。

$y$の範囲は $0 \le x \le 1$ かつ $x^2 \le y \le 1$ なので、$0 \le y \le 1$ となる。

したがって、積分順序を交換した後の積分は以下のようになる。

$\int_{0}^{1} dy \int_{0}^{\sqrt{y}} \sqrt{y^2+y} dx$

$\int_{0}^{1} \sqrt{y^2+y} \left( \int_{0}^{\sqrt{y}} dx \right) dy = \int_{0}^{1} \sqrt{y^2+y} \cdot \sqrt{y} dy = \int_{0}^{1} \sqrt{y^3+y^2} dy = \int_{0}^{1} y \sqrt{y+1} dy$

ここで、$t=y+1$ と置換すると、$y = t-1$, $dy = dt$。

$y=0$ のとき $t=1$, $y=1$ のとき $t=2$。

したがって、積分は以下のようになる。

$\int_{1}^{2} (t-1) \sqrt{t} dt = \int_{1}^{2} (t^{3/2} - t^{1/2}) dt = \left[ \frac{2}{5} t^{5/2} - \frac{2}{3} t^{3/2} \right]_{1}^{2} = \left( \frac{2}{5} 2^{5/2} - \frac{2}{3} 2^{3/2} \right) - \left( \frac{2}{5} - \frac{2}{3} \right) = \left( \frac{2}{5} 4\sqrt{2} - \frac{2}{3} 2\sqrt{2} \right) - \left( \frac{6-10}{15} \right) = \left( \frac{8\sqrt{2}}{5} - \frac{4\sqrt{2}}{3} \right) + \frac{4}{15} = \frac{24\sqrt{2} - 20\sqrt{2}}{15} + \frac{4}{15} = \frac{4\sqrt{2}}{15} + \frac{4}{15} = \frac{4(\sqrt{2}+1)}{15}$

(2)

積分領域を特定する。

$1 \le x \le 2$

$1/x \le y \le 1$

積分領域は、y = 1/x の上側、y = 1の下側、x = 1の右側、x = 2の左側である。

積分順序を交換するために、$x$を$y$で表す。

$1/x \le y$ より $1/y \le x$ となる。

$1 \le x \le 2$ なので、$1/2 \le y \le 1$ でなければならない。したがって、$1/y \le x \le 2$ となる。

$y$ の範囲は $1/2 \le y \le 1$。

したがって、積分順序を交換した後の積分は以下のようになる。

$\int_{1/2}^{1} dy \int_{1/y}^{2} dx$

$\int_{1/2}^{1} \left( \int_{1/y}^{2} dx \right) dy = \int_{1/2}^{1} \left[ x \right]_{1/y}^{2} dy = \int_{1/2}^{1} \left( 2 - \frac{1}{y} \right) dy = \left[ 2y - \ln|y| \right]_{1/2}^{1} = (2 - \ln 1) - (1 - \ln \frac{1}{2}) = 2 - 0 - 1 + \ln \frac{1}{2} = 1 + \ln \frac{1}{2} = 1 - \ln 2$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{4(\sqrt{2}+1)}{15}$

(2) $1 - \ln 2$