与えられた9つの極限値を求める問題です。それぞれの極限は以下の通りです。 (1) $\lim_{x \to 0} \frac{(1+x)^5 - 1}{x}$ (2) $\lim_{x \to \infty} \frac{e^x + 1}{xe^x}$ (3) $\lim_{x \to \infty} \frac{(\log x)^2}{\sqrt{x}}$ (4) $\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x^3}$ (5) $\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^x$ (6) $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - (1+x)}{x^2}$ (7) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x \cos x - x}{x^3}$ (8) $\lim_{x \to 0} \frac{e^x \sin x - x}{x^2}$ (9) $\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x^3}$ (これは(4)と同じ問題です)

## 解答

1. 問題の内容

与えられた9つの極限値を求める問題です。それぞれの極限は以下の通りです。

(1) $\lim_{x \to 0} \frac{(1+x)^5 - 1}{x}$

(2) $\lim_{x \to \infty} \frac{e^x + 1}{xe^x}$

(3) $\lim_{x \to \infty} \frac{(\log x)^2}{\sqrt{x}}$

(4) $\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x^3}$

(5) $\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^x$

(6) $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - (1+x)}{x^2}$

(7) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x \cos x - x}{x^3}$

(8) $\lim_{x \to 0} \frac{e^x \sin x - x}{x^2}$

(9) $\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x^3}$ (これは(4)と同じ問題です)

2. 解き方の手順

各問題ごとに解き方を説明します。

(1) $\lim_{x \to 0} \frac{(1+x)^5 - 1}{x}$

これは微分係数の定義そのものです。$f(x) = (1+x)^5$ とおくと、$f(0) = 1$ なので、求める極限は $f'(0)$ に等しいです。

$f'(x) = 5(1+x)^4$ なので、$f'(0) = 5$ です。

または、二項定理を用いて展開しても良いです。

$(1+x)^5 = 1 + 5x + 10x^2 + 10x^3 + 5x^4 + x^5$

$\frac{(1+x)^5 - 1}{x} = 5 + 10x + 10x^2 + 5x^3 + x^4$

$x \to 0$ のとき、これは $5$ に収束します。

(2) $\lim_{x \to \infty} \frac{e^x + 1}{xe^x}$

$\lim_{x \to \infty} \frac{e^x + 1}{xe^x} = \lim_{x \to \infty} (\frac{e^x}{xe^x} + \frac{1}{xe^x}) = \lim_{x \to \infty} (\frac{1}{x} + \frac{1}{xe^x})$

$x \to \infty$ のとき、$\frac{1}{x} \to 0$ であり、$\frac{1}{xe^x} \to 0$ です。よって、極限は $0$ です。

(3) $\lim_{x \to \infty} \frac{(\log x)^2}{\sqrt{x}}$

ロピタルの定理を2回使います。

$\lim_{x \to \infty} \frac{(\log x)^2}{\sqrt{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{2 (\log x) \frac{1}{x}}{\frac{1}{2\sqrt{x}}} = \lim_{x \to \infty} \frac{4 \log x}{\sqrt{x}}$

もう一度ロピタルの定理を使うと、

$\lim_{x \to \infty} \frac{4 \log x}{\sqrt{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4}{x}}{\frac{1}{2\sqrt{x}}} = \lim_{x \to \infty} \frac{8}{\sqrt{x}} = 0$

(4) $\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x^3}$

ロピタルの定理を3回使います。

$\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{3x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{6x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{6} = \frac{1}{6}$

(5) $\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^x$

これはネイピア数 $e$ の定義そのものです。したがって、極限は $e$ です。

(6) $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - (1+x)}{x^2}$

ロピタルの定理を2回使います。

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - (1+x)}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x}{2} = \frac{1}{2}$

(7) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x \cos x - x}{x^3}$

$\sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x$ であることに注意します。

$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} \sin 2x - x}{x^3}$

ロピタルの定理を3回使います。

$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} \sin 2x - x}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos 2x - 1}{3x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{-2\sin 2x}{6x} = \lim_{x \to 0} \frac{-4\cos 2x}{6} = -\frac{2}{3}$

(8) $\lim_{x \to 0} \frac{e^x \sin x - x}{x^2}$

ロピタルの定理を2回使います。

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x \sin x - x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x \sin x + e^x \cos x - 1}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x \sin x + e^x \cos x + e^x \cos x - e^x \sin x}{2} = \lim_{x \to 0} \frac{2e^x \cos x}{2} = 1$

(9) $\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x^3}$

これは (4) と同じ問題です。

3. 最終的な答え

(1) 5

(2) 0

(3) 0

(4) 1/6

(5) e

(6) 1/2

(7) -2/3

(8) 1

(9) 1/6