次の広義積分の収束、発散を調べよ。 (1) $\int_{0}^{1} \log x dx$ (2) $\int_{0}^{\pi/2} \frac{dx}{\sin x}$ (3) $\int_{0}^{\infty} e^{-x^2} dx$ (4) $\int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{x(1-x)}}$ (5) $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{\sqrt{x^4+1}}$ (6) $\int_{0}^{\infty} \frac{dx}{\sqrt{x^2+1}}$

1. 問題の内容

次の広義積分の収束、発散を調べよ。

(1) $\int_{0}^{1} \log x dx$

(2) $\int_{0}^{\pi/2} \frac{dx}{\sin x}$

(3) $\int_{0}^{\infty} e^{-x^2} dx$

(4) $\int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{x(1-x)}}$

(5) $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{\sqrt{x^4+1}}$

(6) $\int_{0}^{\infty} \frac{dx}{\sqrt{x^2+1}}$

2. 解き方の手順

(1) $\int_{0}^{1} \log x dx$

これは $x=0$ で被積分関数が定義されない広義積分である。

$\lim_{a \to +0} \int_{a}^{1} \log x dx = \lim_{a \to +0} [x\log x - x]_{a}^{1} = \lim_{a \to +0} [(1\log 1 - 1) - (a\log a - a)] = -1 - \lim_{a \to +0} a\log a + \lim_{a \to +0} a$

ここで $\lim_{a \to +0} a\log a = \lim_{a \to +0} \frac{\log a}{1/a} = \lim_{a \to +0} \frac{1/a}{-1/a^2} = \lim_{a \to +0} -a = 0$ (ロピタルの定理)

したがって、$\lim_{a \to +0} \int_{a}^{1} \log x dx = -1 - 0 + 0 = -1$。よって、収束する。

(2) $\int_{0}^{\pi/2} \frac{dx}{\sin x}$

これは $x=0$ で被積分関数が定義されない広義積分である。

$0 < x \le \frac{\pi}{2}$ において $\sin x \le x$ が成り立つので、$\frac{1}{\sin x} \ge \frac{1}{x}$ となる。

$\int_{0}^{\pi/2} \frac{dx}{x}$ は発散するので、$\int_{0}^{\pi/2} \frac{dx}{\sin x}$ も発散する。

より正確には $\lim_{a \to +0} \int_{a}^{\pi/2} \frac{dx}{\sin x}$ を考える。

$\sin x \sim x (x \to 0)$ より $\lim_{a \to +0} \int_{a}^{\pi/2} \frac{dx}{\sin x} = \lim_{a \to +0} \int_{a}^{\pi/2} \frac{dx}{x} = \lim_{a \to +0} [\log x]_{a}^{\pi/2} = \lim_{a \to +0} \log (\pi/2) - \log a = \infty$. よって発散する。

(3) $\int_{0}^{\infty} e^{-x^2} dx$

これは積分区間が無限である広義積分である。

$\int_{0}^{\infty} e^{-x^2} dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$ （ガウス積分）

よって、収束する。

(4) $\int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{x(1-x)}}$

これは $x=0$ と $x=1$ で被積分関数が定義されない広義積分である。

$\int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{x(1-x)}} = \int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{x-x^2}} = \int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{\frac{1}{4}-(x-\frac{1}{2})^2}} = \int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{\frac{1}{4}(1-(2x-1)^2)}}$

$2x-1 = \sin \theta$ とおくと $2dx = \cos \theta d\theta$ より $dx = \frac{1}{2}\cos \theta d\theta$。

$x=0$ のとき $\sin \theta = -1$ より $\theta = -\frac{\pi}{2}$

$x=1$ のとき $\sin \theta = 1$ より $\theta = \frac{\pi}{2}$

$\int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{x(1-x)}} = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{\frac{1}{2}\cos \theta d\theta}{\frac{1}{2}\sqrt{1-\sin^2 \theta}} = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{\cos \theta d\theta}{\cos \theta} = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} d\theta = [\theta]_{-\pi/2}^{\pi/2} = \frac{\pi}{2} - (-\frac{\pi}{2}) = \pi$

よって、収束する。

(5) $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{\sqrt{x^4+1}}$

これは積分区間が無限である広義積分である。

被積分関数は偶関数なので $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{\sqrt{x^4+1}} = 2 \int_{0}^{\infty} \frac{dx}{\sqrt{x^4+1}}$

$x \to \infty$ で $\frac{1}{\sqrt{x^4+1}} \sim \frac{1}{x^2}$ であり $\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^2} dx$ は収束するので、$\int_{0}^{\infty} \frac{dx}{\sqrt{x^4+1}}$ は収束する。

よって、収束する。

(6) $\int_{0}^{\infty} \frac{dx}{\sqrt{x^2+1}}$

これは積分区間が無限である広義積分である。

$x \to \infty$ で $\frac{1}{\sqrt{x^2+1}} \sim \frac{1}{x}$ であり $\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x} dx$ は発散するので、$\int_{0}^{\infty} \frac{dx}{\sqrt{x^2+1}}$ は発散する。

より正確には $\lim_{b \to \infty} \int_{0}^{b} \frac{dx}{\sqrt{x^2+1}}$ を考える。

$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+1}} = \sinh^{-1} x$

$\lim_{b \to \infty} \int_{0}^{b} \frac{dx}{\sqrt{x^2+1}} = \lim_{b \to \infty} [\sinh^{-1} x]_{0}^{b} = \lim_{b \to \infty} \sinh^{-1} b - \sinh^{-1} 0 = \lim_{b \to \infty} \sinh^{-1} b = \infty$

よって、発散する。

3. 最終的な答え

(1) 収束

(2) 発散

(3) 収束

(4) 収束

(5) 収束

(6) 発散