与えられた問題は、ガウス積分と呼ばれる積分の計算です。具体的には、次の定積分の値を求めます。 $\int_{0}^{\infty} e^{-x^2} dx$

1. 問題の内容

与えられた問題は、ガウス積分と呼ばれる積分の計算です。具体的には、次の定積分の値を求めます。

$\int_{0}^{\infty} e^{-x^2} dx$

2. 解き方の手順

この積分を直接的に計算することは難しいので、工夫が必要です。一般的には以下の手順で計算します。

ステップ1: 積分を2乗する

まず、与えられた積分を $I$ とおきます。

$I = \int_{0}^{\infty} e^{-x^2} dx$

次に、$I^2$ を計算します。

$I^2 = \left(\int_{0}^{\infty} e^{-x^2} dx\right) \left(\int_{0}^{\infty} e^{-y^2} dy\right) = \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} e^{-(x^2 + y^2)} dx dy$

ステップ2: 極座標変換

直交座標 $(x, y)$ を極座標 $(r, \theta)$ に変換します。

$x = r\cos\theta$

$y = r\sin\theta$

$x^2 + y^2 = r^2$

$dx dy = r dr d\theta$

積分範囲は $x \ge 0$ かつ $y \ge 0$ であるため、$\theta$ の範囲は $0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ となります。

$r$ の範囲は $0 \le r < \infty$ です。

したがって、$I^2$ は次のように書き換えられます。

$I^2 = \int_{0}^{\pi/2} \int_{0}^{\infty} e^{-r^2} r dr d\theta$

ステップ3: 積分の計算

まず、$r$ に関する積分を計算します。

$u = r^2$ と置くと、$du = 2r dr$ なので、

$\int_{0}^{\infty} e^{-r^2} r dr = \frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} e^{-u} du = \frac{1}{2} [-e^{-u}]_{0}^{\infty} = \frac{1}{2} (0 - (-1)) = \frac{1}{2}$

次に、$\theta$ に関する積分を計算します。

$\int_{0}^{\pi/2} \frac{1}{2} d\theta = \frac{1}{2} [\theta]_{0}^{\pi/2} = \frac{1}{2} \left(\frac{\pi}{2} - 0\right) = \frac{\pi}{4}$

したがって、

$I^2 = \frac{\pi}{4}$

ステップ4: 解を求める

$I > 0$ であることに注意して、$I$ を求めます。

$I = \sqrt{\frac{\pi}{4}} = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$

3. 最終的な答え

$\int_{0}^{\infty} e^{-x^2} dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$