次の4つの極限値を求めよ。 (1) $\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{\sin(xy)}{\sqrt{x^2+y^2}}$ (2) $\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{xy^3}{x^2+y^4}$ (3) $\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^3+y^3}{x^2+y^2}$ (4) $\lim_{(x,y)\to(0,0)} xy\log(x^2+y^2)$

1. 問題の内容

次の4つの極限値を求めよ。

(1) $\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{\sin(xy)}{\sqrt{x^2+y^2}}$

(2) $\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{xy^3}{x^2+y^4}$

(3) $\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^3+y^3}{x^2+y^2}$

(4) $\lim_{(x,y)\to(0,0)} xy\log(x^2+y^2)$

2. 解き方の手順

(1) 極座標変換 $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$を行うと、

$\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{\sin(xy)}{\sqrt{x^2+y^2}} = \lim_{r\to 0} \frac{\sin(r^2\cos\theta\sin\theta)}{r}$

$\lim_{r\to 0} r\cos\theta\sin\theta = 0$より、$|\sin(r^2\cos\theta\sin\theta)| \leq |r^2\cos\theta\sin\theta|$なので、

$\left|\frac{\sin(r^2\cos\theta\sin\theta)}{r}\right| \leq |r\cos\theta\sin\theta|$.

$r\to 0$のとき、$|r\cos\theta\sin\theta| \to 0$となるので、$\lim_{r\to 0} \frac{\sin(r^2\cos\theta\sin\theta)}{r} = 0$。

(2) $x=y^2$に沿って $(0,0)$ に近づけると、

$\lim_{y\to 0} \frac{y^2y^3}{y^4+y^4} = \lim_{y\to 0} \frac{y^5}{2y^4} = \lim_{y\to 0} \frac{y}{2} = 0$

$x=0$に沿って $(0,0)$ に近づけると、

$\lim_{y\to 0} \frac{0}{0+y^4} = 0$

$y=x$に沿って $(0,0)$ に近づけると、

$\lim_{x\to 0} \frac{x^4}{x^2+x^4} = \lim_{x\to 0} \frac{x^2}{1+x^2} = 0$

極座標変換 $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$を行うと、

$\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{xy^3}{x^2+y^4} = \lim_{r\to 0} \frac{r^4\cos\theta\sin^3\theta}{r^2\cos^2\theta + r^4\sin^4\theta} = \lim_{r\to 0} \frac{r^2\cos\theta\sin^3\theta}{\cos^2\theta + r^2\sin^4\theta}$

$\theta = \pi/2$の時、$\frac{0}{r^2}$ となり、極限は 0 でない可能性がある。しかし$\cos\theta = 0$となるような$\theta$の付近では、

$\frac{r^2\cos\theta\sin^3\theta}{\cos^2\theta + r^2\sin^4\theta} \approx \frac{r^2\cos\theta}{cos^2\theta} \approx r^2/\cos\theta$

$\cos\theta=0$になるのは、$\theta=\pi/2+k\pi$ のときである。

この場合は、極限が存在しないことを示す必要がある。

例えば、$x=y^2$の経路から、$y$を変化させていくと、$y=0.1$あたりで、$0.0001/0.0002 = 0.5$となる。

しかし、(2)の極限は存在しない。

(3) 極座標変換 $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$を行うと、

$\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^3+y^3}{x^2+y^2} = \lim_{r\to 0} \frac{r^3(\cos^3\theta+\sin^3\theta)}{r^2} = \lim_{r\to 0} r(\cos^3\theta+\sin^3\theta) = 0$

(4) 極座標変換 $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$を行うと、

$\lim_{(x,y)\to(0,0)} xy\log(x^2+y^2) = \lim_{r\to 0} r^2\cos\theta\sin\theta\log(r^2) = \lim_{r\to 0} 2r^2\cos\theta\sin\theta\log(r)$

$\lim_{r\to 0} r^2\log(r) = 0$より、

$\lim_{r\to 0} 2r^2\cos\theta\sin\theta\log(r) = 0$

3. 最終的な答え

(1) 0

(2) 極限は存在しない

(3) 0

(4) 0