問題3は、関数 $(x^2+x)\cos x$ の2階導関数 $\frac{d^2}{dx^2}\{(x^2+x)\cos x\}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

問題3は、関数 $(x^2+x)\cos x$ の2階導関数 $\frac{d^2}{dx^2}\{(x^2+x)\cos x\}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数 $f(x) = (x^2 + x)\cos x$ の1階導関数を求めます。積の微分法を用いると、

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f'(x) = \frac{d}{dx}\{(x^2 + x)\cos x\} = (2x + 1)\cos x + (x^2 + x)(-\sin x) = (2x + 1)\cos x - (x^2 + x)\sin x

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次に、$f'(x)$ の導関数、つまり $f(x)$ の2階導関数 $f''(x)$ を求めます。再び積の微分法を用いると、

\begin{align*}

f''(x) &= \frac{d}{dx}\{(2x + 1)\cos x - (x^2 + x)\sin x\} \\

&= 2\cos x + (2x + 1)(-\sin x) - (2x + 1)\sin x - (x^2 + x)\cos x \\

&= 2\cos x - (2x + 1)\sin x - (2x + 1)\sin x - (x^2 + x)\cos x \\

&= 2\cos x - (4x + 2)\sin x - (x^2 + x)\cos x \\

&= (2 - x^2 - x)\cos x - (4x + 2)\sin x

\end{align*}

3. 最終的な答え

$\frac{d^2}{dx^2}\{(x^2+x)\cos x\} = (2 - x^2 - x)\cos x - (4x + 2)\sin x$