$z = xy(2x + 3y)$ の2次偏導関数 $z_{xx}, z_{yy}, z_{xy}, z_{yx}$ を求め、$z_{xy} = z_{yx}$ が成り立つことを確認する。

はい、承知いたしました。画像にある数学の問題について、一つずつ解いていきます。

**問7 (1)**

1. 問題の内容

$z = xy(2x + 3y)$ の2次偏導関数 $z_{xx}, z_{yy}, z_{xy}, z_{yx}$ を求め、$z_{xy} = z_{yx}$ が成り立つことを確認する。

2. 解き方の手順

まず、$z$ を展開する。

$z = 2x^2y + 3xy^2$

次に、1階偏導関数を求める。

$z_x = \frac{\partial z}{\partial x} = 4xy + 3y^2$

$z_y = \frac{\partial z}{\partial y} = 2x^2 + 6xy$

次に、2階偏導関数を求める。

$z_{xx} = \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x}(4xy + 3y^2) = 4y$

$z_{yy} = \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y}(2x^2 + 6xy) = 6x$

$z_{xy} = \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial y}(4xy + 3y^2) = 4x + 6y$

$z_{yx} = \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial x}(2x^2 + 6xy) = 4x + 6y$

$z_{xy} = z_{yx}$ が成立することを確認する。

3. 最終的な答え

$z_{xx} = 4y$

$z_{yy} = 6x$

$z_{xy} = 4x + 6y$

$z_{yx} = 4x + 6y$

したがって、$z_{xy} = z_{yx}$ が成り立つ。

**問7 (2)**

1. 問題の内容

$z = e^{xy}$ の2次偏導関数 $z_{xx}, z_{yy}, z_{xy}, z_{yx}$ を求め、$z_{xy} = z_{yx}$ が成り立つことを確認する。

2. 解き方の手順

まず、1階偏導関数を求める。

$z_x = \frac{\partial z}{\partial x} = ye^{xy}$

$z_y = \frac{\partial z}{\partial y} = xe^{xy}$

次に、2階偏導関数を求める。

$z_{xx} = \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x}(ye^{xy}) = y^2e^{xy}$

$z_{yy} = \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y}(xe^{xy}) = x^2e^{xy}$

$z_{xy} = \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial y}(ye^{xy}) = e^{xy} + xy e^{xy} = (1+xy)e^{xy}$

$z_{yx} = \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial x}(xe^{xy}) = e^{xy} + xy e^{xy} = (1+xy)e^{xy}$

$z_{xy} = z_{yx}$ が成立することを確認する。

3. 最終的な答え

$z_{xx} = y^2e^{xy}$

$z_{yy} = x^2e^{xy}$

$z_{xy} = (1+xy)e^{xy}$

$z_{yx} = (1+xy)e^{xy}$

したがって、$z_{xy} = z_{yx}$ が成り立つ。

**問7 (3)**

1. 問題の内容

$z = \cos(x - 2y)$ の2次偏導関数 $z_{xx}, z_{yy}, z_{xy}, z_{yx}$ を求め、$z_{xy} = z_{yx}$ が成り立つことを確認する。

2. 解き方の手順

まず、1階偏導関数を求める。

$z_x = \frac{\partial z}{\partial x} = -\sin(x - 2y)$

$z_y = \frac{\partial z}{\partial y} = 2\sin(x - 2y)$

次に、2階偏導関数を求める。

$z_{xx} = \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x}(-\sin(x - 2y)) = -\cos(x - 2y)$

$z_{yy} = \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y}(2\sin(x - 2y)) = 4\cos(x - 2y)$

$z_{xy} = \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial y}(-\sin(x - 2y)) = 2\cos(x - 2y)$

$z_{yx} = \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial x}(2\sin(x - 2y)) = 2\cos(x - 2y)$

$z_{xy} = z_{yx}$ が成立することを確認する。

3. 最終的な答え

$z_{xx} = -\cos(x - 2y)$

$z_{yy} = 4\cos(x - 2y)$

$z_{xy} = 2\cos(x - 2y)$

$z_{yx} = 2\cos(x - 2y)$

したがって、$z_{xy} = z_{yx}$ が成り立つ。

**問7 (4)**

1. 問題の内容

$z = \log(e^x + e^y)$ の2次偏導関数 $z_{xx}, z_{yy}, z_{xy}, z_{yx}$ を求め、$z_{xy} = z_{yx}$ が成り立つことを確認する。

2. 解き方の手順

まず、1階偏導関数を求める。

$z_x = \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{e^x}{e^x + e^y}$

$z_y = \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{e^y}{e^x + e^y}$

次に、2階偏導関数を求める。

$z_{xx} = \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x}(\frac{e^x}{e^x + e^y}) = \frac{e^x(e^x + e^y) - e^x(e^x)}{(e^x + e^y)^2} = \frac{e^x e^y}{(e^x + e^y)^2}$

$z_{yy} = \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y}(\frac{e^y}{e^x + e^y}) = \frac{e^y(e^x + e^y) - e^y(e^y)}{(e^x + e^y)^2} = \frac{e^x e^y}{(e^x + e^y)^2}$

$z_{xy} = \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial y}(\frac{e^x}{e^x + e^y}) = \frac{-e^x e^y}{(e^x + e^y)^2}$

$z_{yx} = \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial x}(\frac{e^y}{e^x + e^y}) = \frac{-e^x e^y}{(e^x + e^y)^2}$

$z_{xy} = z_{yx}$ が成立することを確認する。

3. 最終的な答え

$z_{xx} = \frac{e^x e^y}{(e^x + e^y)^2}$

$z_{yy} = \frac{e^x e^y}{(e^x + e^y)^2}$

$z_{xy} = \frac{-e^x e^y}{(e^x + e^y)^2}$

$z_{yx} = \frac{-e^x e^y}{(e^x + e^y)^2}$

したがって、$z_{xy} = z_{yx}$ が成り立つ。

**問7 (5)**

1. 問題の内容

$z = \sin^{-1}(xy)$ の2次偏導関数 $z_{xx}, z_{yy}, z_{xy}, z_{yx}$ を求め、$z_{xy} = z_{yx}$ が成り立つことを確認する。

2. 解き方の手順

まず、1階偏導関数を求める。

$z_x = \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{y}{\sqrt{1 - (xy)^2}} = \frac{y}{\sqrt{1 - x^2y^2}}$

$z_y = \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{x}{\sqrt{1 - (xy)^2}} = \frac{x}{\sqrt{1 - x^2y^2}}$

次に、2階偏導関数を求める。

$z_{xx} = \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x}(\frac{y}{\sqrt{1 - x^2y^2}}) = \frac{-y (-2x y^2) }{2(1-x^2y^2)^{3/2}} = \frac{x y^3 }{(1-x^2y^2)^{3/2}}$

$z_{yy} = \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y}(\frac{x}{\sqrt{1 - x^2y^2}}) = \frac{-x (-2x^2y) }{2(1-x^2y^2)^{3/2}} = \frac{x^3 y }{(1-x^2y^2)^{3/2}}$

$z_{xy} = \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial y}(\frac{y}{\sqrt{1 - x^2y^2}}) = \frac{\sqrt{1-x^2y^2} - y (\frac{-2x^2y}{2\sqrt{1-x^2y^2}}) }{(1-x^2y^2)} = \frac{1-x^2y^2 + x^2y^2 }{\sqrt{1-x^2y^2}(1-x^2y^2)} = \frac{1}{(1-x^2y^2)^{3/2}}$

$z_{yx} = \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial x}(\frac{x}{\sqrt{1 - x^2y^2}}) = \frac{\sqrt{1-x^2y^2} - x (\frac{-2xy^2}{2\sqrt{1-x^2y^2}}) }{(1-x^2y^2)} = \frac{1-x^2y^2 + x^2y^2 }{\sqrt{1-x^2y^2}(1-x^2y^2)} = \frac{1}{(1-x^2y^2)^{3/2}}$

$z_{xy} = z_{yx}$ が成立することを確認する。

3. 最終的な答え

$z_{xx} = \frac{x y^3 }{(1-x^2y^2)^{3/2}}$

$z_{yy} = \frac{x^3 y }{(1-x^2y^2)^{3/2}}$

$z_{xy} = \frac{1}{(1-x^2y^2)^{3/2}}$

$z_{yx} = \frac{1}{(1-x^2y^2)^{3/2}}$

したがって、$z_{xy} = z_{yx}$ が成り立つ。

**問8 (1)**

1. 問題の内容

$z = \log(x^2 + y^2)$ について、$z_{xx} + z_{yy} = 0$ が成り立つことを示す。

2. 解き方の手順

まず、1階偏導関数を求める。

$z_x = \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{2x}{x^2 + y^2}$

$z_y = \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{2y}{x^2 + y^2}$

次に、2階偏導関数を求める。

$z_{xx} = \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x}(\frac{2x}{x^2 + y^2}) = \frac{2(x^2 + y^2) - 2x(2x)}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{2y^2 - 2x^2}{(x^2 + y^2)^2}$

$z_{yy} = \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y}(\frac{2y}{x^2 + y^2}) = \frac{2(x^2 + y^2) - 2y(2y)}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{2x^2 - 2y^2}{(x^2 + y^2)^2}$

$z_{xx} + z_{yy}$ を計算する。

$z_{xx} + z_{yy} = \frac{2y^2 - 2x^2}{(x^2 + y^2)^2} + \frac{2x^2 - 2y^2}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{0}{(x^2 + y^2)^2} = 0$

したがって、$z_{xx} + z_{yy} = 0$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

$z_{xx} + z_{yy} = 0$

**問8 (2)**

1. 問題の内容

$z = e^x \cos y$ について、$z_{xx} + z_{yy} = 0$ が成り立つことを示す。

2. 解き方の手順

まず、1階偏導関数を求める。

$z_x = \frac{\partial z}{\partial x} = e^x \cos y$

$z_y = \frac{\partial z}{\partial y} = -e^x \sin y$

次に、2階偏導関数を求める。

$z_{xx} = \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x}(e^x \cos y) = e^x \cos y$

$z_{yy} = \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y}(-e^x \sin y) = -e^x \cos y$

$z_{xx} + z_{yy}$ を計算する。

$z_{xx} + z_{yy} = e^x \cos y - e^x \cos y = 0$

したがって、$z_{xx} + z_{yy} = 0$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

$z_{xx} + z_{yy} = 0$

**問8 (3)**

1. 問題の内容

$z = \tan^{-1}(\frac{x}{y})$ について、$z_{xx} + z_{yy} = 0$ が成り立つことを示す。

2. 解き方の手順

まず、1階偏導関数を求める。

$z_x = \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{1 + (\frac{x}{y})^2} \cdot \frac{1}{y} = \frac{y}{y^2 + x^2}$

$z_y = \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{1 + (\frac{x}{y})^2} \cdot (-\frac{x}{y^2}) = -\frac{x}{y^2 + x^2}$

次に、2階偏導関数を求める。

$z_{xx} = \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x}(\frac{y}{y^2 + x^2}) = \frac{-y(2x)}{(y^2 + x^2)^2} = \frac{-2xy}{(y^2 + x^2)^2}$

$z_{yy} = \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y}(-\frac{x}{y^2 + x^2}) = \frac{x(2y)}{(y^2 + x^2)^2} = \frac{2xy}{(y^2 + x^2)^2}$

$z_{xx} + z_{yy}$ を計算する。

$z_{xx} + z_{yy} = \frac{-2xy}{(y^2 + x^2)^2} + \frac{2xy}{(y^2 + x^2)^2} = 0$

したがって、$z_{xx} + z_{yy} = 0$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

$z_{xx} + z_{yy} = 0$