$R^2$ 上の関数 $f(x,y) = xy(1-x-y)$ が極大値、極小値を取る点が存在するかどうかを判定します。

1. 問題の内容

$R^2$ 上の関数 $f(x,y) = xy(1-x-y)$ が極大値、極小値を取る点が存在するかどうかを判定します。

2. 解き方の手順

まず、偏微分を計算します。

$f(x,y) = xy - x^2y - xy^2$

$f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = y - 2xy - y^2$

$f_y = \frac{\partial f}{\partial y} = x - x^2 - 2xy$

極値を取る点は、$f_x = 0$ かつ $f_y = 0$ を満たす点です。

したがって、次の連立方程式を解きます。

$y - 2xy - y^2 = 0$

$x - x^2 - 2xy = 0$

$y(1 - 2x - y) = 0$

$x(1 - x - 2y) = 0$

場合分けします。

(1) $x=0$ のとき、 $y(1-y)=0$ となり、$y=0$ または $y=1$. よって、$(0,0), (0,1)$ が候補。

(2) $y=0$ のとき、$x(1-x) = 0$ となり、$x=0$ または $x=1$. よって、$(0,0), (1,0)$ が候補。

(3) $x \neq 0$ かつ $y \neq 0$ のとき、

$1 - 2x - y = 0$

$1 - x - 2y = 0$

これを解くと

$2 - 4x - 2y = 0$

$1 - x - 2y = 0$

辺々引くと $1 - 3x = 0$ より $x = \frac{1}{3}$.

$1 - \frac{1}{3} - 2y = 0$ より $\frac{2}{3} = 2y$ なので $y = \frac{1}{3}$.

よって、 $(\frac{1}{3}, \frac{1}{3})$ が候補。

次に、2階偏微分を計算します。

$f_{xx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = -2y$

$f_{yy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = -2x$

$f_{xy} = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = 1 - 2x - 2y$

ヘッセ行列式 $D = f_{xx}f_{yy} - f_{xy}^2 = 4xy - (1-2x-2y)^2$ を計算します。

(1) $(0,0)$ のとき、 $D = -1 < 0$ なので、極値ではない。

(2) $(0,1)$ のとき、 $D = -(-1)^2 = -1 < 0$ なので、極値ではない。

(3) $(1,0)$ のとき、$D = -(-1)^2 = -1 < 0$ なので、極値ではない。

(4) $(\frac{1}{3}, \frac{1}{3})$ のとき、

$f_{xx} = -\frac{2}{3}$

$f_{yy} = -\frac{2}{3}$

$f_{xy} = 1 - \frac{2}{3} - \frac{2}{3} = -\frac{1}{3}$

$D = 4 \cdot \frac{1}{9} - \frac{1}{9} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} > 0$.

$f_{xx} = -\frac{2}{3} < 0$ なので、 $(\frac{1}{3}, \frac{1}{3})$ で極大値を取る。

3. 最終的な答え

関数 $f(x,y) = xy(1-x-y)$ は、点 $(\frac{1}{3}, \frac{1}{3})$ で極大値を取ります。