領域 $D = \{(x, y, z) \mid x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0, x + y + z \leq 1\}$ において、以下の３重積分を計算する問題です。 (1) $\iiint_D dxdydz$ (2) $\iiint_D x \, dxdydz$ (3) $\iiint_D (1-x-y) \, dxdydz$

1. 問題の内容

領域 $D = \{(x, y, z) \mid x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0, x + y + z \leq 1\}$ において、以下の３重積分を計算する問題です。

(1) $\iiint_D dxdydz$

(2) $\iiint_D x \, dxdydz$

(3) $\iiint_D (1-x-y) \, dxdydz$

2. 解き方の手順

例10で示されているように、領域 $D$ は $0 \leq z \leq 1-x-y$, $(x, y) \in E$ であり、$E = \{(x, y) \mid x \geq 0, y \geq 0, x+y \leq 1\}$ です。

また、重積分は以下の累次積分で計算できます。

$$\iiint_D f(x, y, z) \, dxdydz = \int_0^1 dx \int_0^{1-x} dy \int_0^{1-x-y} f(x, y, z) \, dz$$

(1) $\iiint_D dxdydz$

$$\int_0^1 dx \int_0^{1-x} dy \int_0^{1-x-y} dz = \int_0^1 dx \int_0^{1-x} (1-x-y) \, dy$$

$$= \int_0^1 \left[ (1-x)y - \frac{y^2}{2} \right]_0^{1-x} dx = \int_0^1 \left[ (1-x)^2 - \frac{(1-x)^2}{2} \right] dx$$

$$= \int_0^1 \frac{(1-x)^2}{2} dx = \frac{1}{2} \int_0^1 (1 - 2x + x^2) dx = \frac{1}{2} \left[ x - x^2 + \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = \frac{1}{2} \left( 1 - 1 + \frac{1}{3} \right) = \frac{1}{6}$$

(2) $\iiint_D x \, dxdydz$

$$\int_0^1 dx \int_0^{1-x} dy \int_0^{1-x-y} x \, dz = \int_0^1 dx \int_0^{1-x} x(1-x-y) \, dy$$

$$= \int_0^1 x \left[ (1-x)y - \frac{y^2}{2} \right]_0^{1-x} dx = \int_0^1 x \left[ (1-x)^2 - \frac{(1-x)^2}{2} \right] dx$$

$$= \int_0^1 \frac{x(1-x)^2}{2} dx = \frac{1}{2} \int_0^1 x(1 - 2x + x^2) dx = \frac{1}{2} \int_0^1 (x - 2x^2 + x^3) dx$$

$$= \frac{1}{2} \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{2x^3}{3} + \frac{x^4}{4} \right]_0^1 = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} - \frac{2}{3} + \frac{1}{4} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{6 - 8 + 3}{12} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{12} = \frac{1}{24}$$

(3) $\iiint_D (1-x-y) \, dxdydz$

$$\int_0^1 dx \int_0^{1-x} dy \int_0^{1-x-y} (1-x-y) \, dz = \int_0^1 dx \int_0^{1-x} (1-x-y)^2 \, dy$$

$$= \int_0^1 dx \left[ -\frac{(1-x-y)^3}{3} \right]_0^{1-x} = \int_0^1 \left( -\frac{(1-x-(1-x))^3}{3} + \frac{(1-x-0)^3}{3} \right) dx$$

$$= \int_0^1 \frac{(1-x)^3}{3} dx = \frac{1}{3} \int_0^1 (1 - 3x + 3x^2 - x^3) dx = \frac{1}{3} \left[ x - \frac{3x^2}{2} + x^3 - \frac{x^4}{4} \right]_0^1$$

$$= \frac{1}{3} \left( 1 - \frac{3}{2} + 1 - \frac{1}{4} \right) = \frac{1}{3} \left( \frac{4 - 6 + 4 - 1}{4} \right) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{12}$$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{6}$

(2) $\frac{1}{24}$

(3) $\frac{1}{12}$