(1) $\lim_{(x,y) \to (0,0)} xy \log(x^2 + y^2)$ の極限を求め、収束する場合はその値を、発散する場合はその理由を示してください。 (2) $x^2 + xy - y^2 = 1$ で定まる陰関数 $y=f(x)$ に対して、$\frac{dy}{dx}$ を求めてください。 (3) $f(x,y) = x^2 - xy + y^2 - 4x - y$ の極値を求めてください。 (4) 重積分 $\iint_D xy^2 dxdy$ を、領域 $D: 0 \le x \le 1, 0 \le y \le \sqrt{1-x^2}$ に対して求めてください。 (5) 重積分 $\iint_D xy dxdy$ を、領域 $D: \frac{x^2}{2} + y^2 \le 1$ に対して求めてください。

はい、承知いたしました。与えられた数学の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

(1) $\lim_{(x,y) \to (0,0)} xy \log(x^2 + y^2)$ の極限を求め、収束する場合はその値を、発散する場合はその理由を示してください。

(2) $x^2 + xy - y^2 = 1$ で定まる陰関数 $y=f(x)$ に対して、$\frac{dy}{dx}$ を求めてください。

(3) $f(x,y) = x^2 - xy + y^2 - 4x - y$ の極値を求めてください。

(4) 重積分 $\iint_D xy^2 dxdy$ を、領域 $D: 0 \le x \le 1, 0 \le y \le \sqrt{1-x^2}$ に対して求めてください。

(5) 重積分 $\iint_D xy dxdy$ を、領域 $D: \frac{x^2}{2} + y^2 \le 1$ に対して求めてください。

2. 解き方の手順

(1) 極限の計算:

極座標変換 $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ を用いると、

$xy \log(x^2 + y^2) = r^2 \cos\theta \sin\theta \log(r^2) = 2r^2 \cos\theta \sin\theta \log(r)$

$r \to 0$ のとき、$r^2 \log(r) \to 0$ であるので、$\lim_{(x,y) \to (0,0)} xy \log(x^2 + y^2) = 0$.

(2) 陰関数の微分:

$x^2 + xy - y^2 = 1$ を $x$ で微分すると、

$2x + y + x \frac{dy}{dx} - 2y \frac{dy}{dx} = 0$

$\frac{dy}{dx}(x - 2y) = -2x - y$

$\frac{dy}{dx} = \frac{-2x-y}{x-2y} = \frac{2x+y}{2y-x}$

(3) 極値の計算:

$f(x,y) = x^2 - xy + y^2 - 4x - y$

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2x - y - 4 = 0$

$\frac{\partial f}{\partial y} = -x + 2y - 1 = 0$

連立方程式を解くと、

$2x - y = 4$

$-x + 2y = 1$

$4x - 2y = 8$

$-x + 2y = 1$

$3x = 9$ より $x = 3$

$y = 2x - 4 = 2(3) - 4 = 2$

停留点は $(3, 2)$

ヘッセ行列を計算する。

$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 2$

$\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 2$

$\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = -1$

$H = \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} = 4 - 1 = 3 > 0$

$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 2 > 0$ であるから、$(3, 2)$ で極小値をとる。

$f(3, 2) = 3^2 - 3(2) + 2^2 - 4(3) - 2 = 9 - 6 + 4 - 12 - 2 = -7$

(4) 重積分の計算:

$\iint_D xy^2 dxdy$ , $D: 0 \le x \le 1, 0 \le y \le \sqrt{1-x^2}$

$\int_0^1 \int_0^{\sqrt{1-x^2}} xy^2 dy dx = \int_0^1 x \left[ \frac{y^3}{3} \right]_0^{\sqrt{1-x^2}} dx = \int_0^1 x \frac{(1-x^2)^{3/2}}{3} dx$

$u = 1-x^2$ とすると $du = -2x dx$, $x dx = -\frac{1}{2} du$

$x=0$ のとき $u = 1$, $x=1$ のとき $u = 0$

$\int_1^0 \frac{1}{3} u^{3/2} (-\frac{1}{2}) du = \frac{1}{6} \int_0^1 u^{3/2} du = \frac{1}{6} \left[ \frac{u^{5/2}}{5/2} \right]_0^1 = \frac{1}{6} \cdot \frac{2}{5} = \frac{1}{15}$

(5) 重積分の計算:

$\iint_D xy dxdy$ , $D: \frac{x^2}{2} + y^2 \le 1$

$D$ は楕円であり、$x$ と $y$ の積である $xy$ を積分するので、対称性より 0 になる。

$\iint_D xy dxdy = 0$

3. 最終的な答え

(1) 0

(2) $\frac{2x+y}{2y-x}$

(3) 極小値 -7 (x=3, y=2のとき)

(4) $\frac{1}{15}$

(5) 0