領域 $D = \{(x, y) \mid x^2 + y^2 \le x\}$ 上で、二重積分 $\iint_D \sqrt{x} \,dxdy$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

領域 $D = \{(x, y) \mid x^2 + y^2 \le x\}$ 上で、二重積分 $\iint_D \sqrt{x} \,dxdy$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、積分領域 $D$ を把握します。不等式 $x^2 + y^2 \le x$ は、$x^2 - x + y^2 \le 0$ と変形できます。さらに平方完成を行うと、 $(x - \frac{1}{2})^2 + y^2 \le (\frac{1}{2})^2$ となります。これは、中心 $(\frac{1}{2}, 0)$、半径 $\frac{1}{2}$ の円の内部（境界も含む）を表しています。

極座標変換 $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ を行います。

$x^2 + y^2 \le x$ は $r^2 \le r\cos\theta$ となり、$0 \le r \le \cos\theta$となります。

また、円の中心が $x$ 軸上にあることから、$-\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ です。

$\sqrt{x} = \sqrt{r\cos\theta}$ であり、$dxdy = rdrd\theta$ ですから、積分は次のようになります。

$\iint_D \sqrt{x} \,dxdy = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \int_0^{\cos\theta} \sqrt{r\cos\theta} \cdot r \,drd\theta = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \int_0^{\cos\theta} r^{3/2}\sqrt{\cos\theta} \,drd\theta$

まず、$r$ について積分します。

$\int_0^{\cos\theta} r^{3/2} \,dr = \left[\frac{2}{5}r^{5/2}\right]_0^{\cos\theta} = \frac{2}{5}(\cos\theta)^{5/2}$

したがって、積分は次のようになります。

$\iint_D \sqrt{x} \,dxdy = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{2}{5}(\cos\theta)^{5/2}\sqrt{\cos\theta} \,d\theta = \frac{2}{5} \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos^3\theta \,d\theta$

$\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos^3\theta \,d\theta = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos\theta(1-\sin^2\theta) \,d\theta = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos\theta \,d\theta - \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos\theta\sin^2\theta \,d\theta$

$\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos\theta \,d\theta = [\sin\theta]_{-\pi/2}^{\pi/2} = 1 - (-1) = 2$

$\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos\theta\sin^2\theta \,d\theta = \left[\frac{1}{3}\sin^3\theta\right]_{-\pi/2}^{\pi/2} = \frac{1}{3} - (-\frac{1}{3}) = \frac{2}{3}$

よって、$\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos^3\theta \,d\theta = 2 - \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$

$\iint_D \sqrt{x} \,dxdy = \frac{2}{5} \cdot \frac{4}{3} = \frac{8}{15}$

3. 最終的な答え

$\frac{8}{15}$