$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\tan x}$ を求めよ。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\tan x}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\tan x$ を $\frac{\sin x}{\cos x}$ に書き換えます。

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\tan x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\frac{\sin x}{\cos x}} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x \cos x}{\sin x}$

次に、$\lim_{x \to 0} \frac{\sin ax}{ax} = 1$ を利用するため、分子分母に $x$ をかけます。

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x \cos x}{\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{3x} \cdot \frac{x}{\sin x} \cdot 3 \cos x$

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{3x} = 1$

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ より $\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin x} = 1$

$\lim_{x \to 0} \cos x = 1$

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x \cos x}{\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{3x} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin x} \cdot \lim_{x \to 0} 3 \cos x = 1 \cdot 1 \cdot 3 \cdot 1 = 3$

3. 最終的な答え

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