関数 $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}$ と曲線 $C: y = f(x)$ について、以下の問いに答えます。 (1) 曲線 $C$ の概形を描く。ただし、$f(x)$ の極値と増減だけでなく、$\lim_{x \to \infty} f(x)$, $\lim_{x \to -\infty} f(x)$ および $C$ の凹凸も調べる。 (2) $C$ 上の点 $A(a, f(a))$ における接線の方程式を求める。 (3) 曲線 $C$ の接線で点 $B(3, 0)$ を通るものを求める。 (4) $p > 0$ とするとき、曲線 $C$ の接線で点 $P(p, 0)$ を通るものの本数を求める。

はい、承知いたしました。それでは、与えられた問題を解いていきます。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}$ と曲線 $C: y = f(x)$ について、以下の問いに答えます。

(1) 曲線 $C$ の概形を描く。ただし、$f(x)$ の極値と増減だけでなく、$\lim_{x \to \infty} f(x)$, $\lim_{x \to -\infty} f(x)$ および $C$ の凹凸も調べる。

(2) $C$ 上の点 $A(a, f(a))$ における接線の方程式を求める。

(3) 曲線 $C$ の接線で点 $B(3, 0)$ を通るものを求める。

(4) $p > 0$ とするとき、曲線 $C$ の接線で点 $P(p, 0)$ を通るものの本数を求める。

2. 解き方の手順

(1) 曲線 $C$ の概形について

まず、$f(x)$ の定義域は実数全体です。

$f(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}$ なので、$f'(x)$ と $f''(x)$ を計算します。

$f'(x) = -\frac{x}{(x^2 + 1)^{3/2}}$

$f''(x) = \frac{2x^2 - 1}{(x^2 + 1)^{5/2}}$

$f'(x) = 0$ となるのは $x = 0$ のときで、$f(0) = 1$ となります。$x < 0$ で $f'(x) > 0$、$x > 0$ で $f'(x) < 0$ なので、$x = 0$ で極大値 $1$ をとります。

$\lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} f(x) = 0$

$f''(x) = 0$ となるのは $x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$ のときです。

$x < -\frac{1}{\sqrt{2}}$ で $f''(x) > 0$、$-\frac{1}{\sqrt{2}} < x < \frac{1}{\sqrt{2}}$ で $f''(x) < 0$、 $x > \frac{1}{\sqrt{2}}$ で $f''(x) > 0$ なので、$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$ で変曲点を持ちます。

変曲点の $y$ 座標は、$f(\pm \frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{2} + 1}} = \sqrt{\frac{2}{3}}$ となります。

(2) 点 $A(a, f(a))$ における接線の方程式について

$f'(a) = -\frac{a}{(a^2 + 1)^{3/2}}$

接線の方程式は

$y - f(a) = f'(a) (x - a)$

$y - \frac{1}{\sqrt{a^2 + 1}} = -\frac{a}{(a^2 + 1)^{3/2}}(x - a)$

(3) 点 $B(3, 0)$ を通る接線について

(2)で求めた接線が点 $B(3, 0)$ を通るので、

$0 - \frac{1}{\sqrt{a^2 + 1}} = -\frac{a}{(a^2 + 1)^{3/2}}(3 - a)$

$-\frac{1}{\sqrt{a^2 + 1}} = \frac{-3a + a^2}{(a^2 + 1)^{3/2}}$

$-(a^2 + 1) = -3a + a^2$

$2a^2 - 3a + 1 = 0$

$(2a - 1)(a - 1) = 0$

$a = 1/2, 1$

$a = 1/2$ のとき、$f(1/2) = \frac{1}{\sqrt{5/4}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$、$f'(1/2) = -\frac{1/2}{(5/4)^{3/2}} = -\frac{1/2}{(5\sqrt{5})/8} = -\frac{4}{5\sqrt{5}}$

$y - \frac{2}{\sqrt{5}} = -\frac{4}{5\sqrt{5}} (x - \frac{1}{2})$

$y = -\frac{4}{5\sqrt{5}}x + \frac{2}{5\sqrt{5}} + \frac{2}{\sqrt{5}} = -\frac{4}{5\sqrt{5}}x + \frac{12}{5\sqrt{5}}$

$a = 1$ のとき、$f(1) = \frac{1}{\sqrt{2}}$、$f'(1) = -\frac{1}{2\sqrt{2}}$

$y - \frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{1}{2\sqrt{2}}(x - 1)$

$y = -\frac{1}{2\sqrt{2}}x + \frac{1}{2\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{1}{2\sqrt{2}}x + \frac{3}{2\sqrt{2}}$

(4) 点 $P(p, 0)$ を通る接線の本数について

同様に、

$0 - \frac{1}{\sqrt{a^2 + 1}} = -\frac{a}{(a^2 + 1)^{3/2}}(p - a)$

$-(a^2 + 1) = -ap + a^2$

$2a^2 - pa + 1 = 0$

この $a$ に関する二次方程式の判別式は、$D = p^2 - 8$

$p^2 - 8 > 0$ ならば、$a$ が2つ存在し、接線は2本。

$p^2 - 8 = 0$ ならば、$a$ が1つ存在し、接線は1本。

$p^2 - 8 < 0$ ならば、$a$ が存在せず、接線は0本。

$p > 0$ より、

$p > 2\sqrt{2}$ ならば2本

$p = 2\sqrt{2}$ ならば1本

$0 < p < 2\sqrt{2}$ ならば0本

3. 最終的な答え

(1) グラフは省略。

(2) $y - \frac{1}{\sqrt{a^2 + 1}} = -\frac{a}{(a^2 + 1)^{3/2}}(x - a)$

(3) $y = -\frac{4}{5\sqrt{5}}x + \frac{12}{5\sqrt{5}}$, $y = -\frac{1}{2\sqrt{2}}x + \frac{3}{2\sqrt{2}}$

(4) $p > 2\sqrt{2}$ のとき2本、$p = 2\sqrt{2}$ のとき1本、$0 < p < 2\sqrt{2}$ のとき0本

以上です。