$\lim_{x \to 0} \frac{\sin^2 x + \sin x}{x^2 + x}$ を求める問題です。

解析学極限三角関数因数分解ロピタルの定理
2025/7/27

1. 問題の内容

limx0sin2x+sinxx2+x\lim_{x \to 0} \frac{\sin^2 x + \sin x}{x^2 + x} を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を因数分解します。分子と分母からそれぞれ sinx\sin xxx をくくり出すことができます。
limx0sin2x+sinxx2+x=limx0sinx(sinx+1)x(x+1)\lim_{x \to 0} \frac{\sin^2 x + \sin x}{x^2 + x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x (\sin x + 1)}{x(x + 1)}
次に、limx0sinxx=1\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 を利用するために、式を次のように変形します。
limx0sinxxsinx+1x+1\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \cdot \frac{\sin x + 1}{x + 1}
それぞれの極限を計算します。
limx0sinxx=1\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1
limx0sinx+1x+1=sin0+10+1=0+11=1\lim_{x \to 0} \frac{\sin x + 1}{x + 1} = \frac{\sin 0 + 1}{0 + 1} = \frac{0 + 1}{1} = 1
したがって、
limx0sin2x+sinxx2+x=11=1\lim_{x \to 0} \frac{\sin^2 x + \sin x}{x^2 + x} = 1 \cdot 1 = 1

3. 最終的な答え

1

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