与えられた2つの二変数関数の極限値を求める問題です。 (1) $\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}$ (2) $\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2y^2}{x^2 + y^4}$

1. 問題の内容

与えられた2つの二変数関数の極限値を求める問題です。

(1) $\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}$

(2) $\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2y^2}{x^2 + y^4}$

2. 解き方の手順

(1) 極座標変換を用いて解きます。$x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ とおくと、$(x,y) \to (0,0)$ のとき $r \to 0$ となります。

与式は、

$\lim_{r \to 0} \frac{r^2\cos^2\theta - r^2\sin^2\theta}{r^2\cos^2\theta + r^2\sin^2\theta} = \lim_{r \to 0} \frac{r^2(\cos^2\theta - \sin^2\theta)}{r^2(\cos^2\theta + \sin^2\theta)} = \lim_{r \to 0} \frac{\cos^2\theta - \sin^2\theta}{\cos^2\theta + \sin^2\theta} = \lim_{r \to 0} \frac{\cos 2\theta}{1} = \cos 2\theta$

$\theta$ の値によって極限値が異なるため、極限は存在しません。

(2)

まず、$y=0$に沿って$(0,0)$に近づくとき、

$\lim_{x \to 0} \frac{x^2(0)^2}{x^2 + 0^4} = \lim_{x \to 0} \frac{0}{x^2} = 0$

次に、$x = y^2$に沿って$(0,0)$に近づくとき、

$\lim_{y \to 0} \frac{(y^2)^2 y^2}{(y^2)^2 + y^4} = \lim_{y \to 0} \frac{y^6}{y^4 + y^4} = \lim_{y \to 0} \frac{y^6}{2y^4} = \lim_{y \to 0} \frac{y^2}{2} = 0$

ここで, $0 \le x^2 \le x^2+y^4$ なので、$0 \le \frac{x^2}{x^2+y^4} \le 1$. よって、$0 \le \frac{x^2 y^2}{x^2+y^4} \le y^2$.

したがって、$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2y^2}{x^2+y^4} = 0$.

3. 最終的な答え

(1) 極限は存在しない。

(2) 0