次の関数を偏微分する問題です。 (1) $z = \sin(x^2 + y^2)$ (3) $z = e^{xy} \tan^{-1} y$

1. 問題の内容

次の関数を偏微分する問題です。

(1) $z = \sin(x^2 + y^2)$

(3) $z = e^{xy} \tan^{-1} y$

2. 解き方の手順

(1) $z = \sin(x^2 + y^2)$

まず、$x$で偏微分します。合成関数の微分を使います。

$\frac{\partial z}{\partial x} = \cos(x^2 + y^2) \cdot \frac{\partial}{\partial x}(x^2 + y^2) = \cos(x^2 + y^2) \cdot 2x$

$\frac{\partial z}{\partial x} = 2x \cos(x^2 + y^2)$

次に、$y$で偏微分します。

$\frac{\partial z}{\partial y} = \cos(x^2 + y^2) \cdot \frac{\partial}{\partial y}(x^2 + y^2) = \cos(x^2 + y^2) \cdot 2y$

$\frac{\partial z}{\partial y} = 2y \cos(x^2 + y^2)$

(3) $z = e^{xy} \tan^{-1} y$

まず、$x$で偏微分します。

$\frac{\partial z}{\partial x} = e^{xy} \cdot \frac{\partial}{\partial x}(xy) \cdot \tan^{-1} y = e^{xy} \cdot y \cdot \tan^{-1} y$

$\frac{\partial z}{\partial x} = y e^{xy} \tan^{-1} y$

次に、$y$で偏微分します。積の微分を使います。

$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(e^{xy}) \cdot \tan^{-1} y + e^{xy} \cdot \frac{\partial}{\partial y}(\tan^{-1} y)$

$\frac{\partial z}{\partial y} = e^{xy} \cdot x \cdot \tan^{-1} y + e^{xy} \cdot \frac{1}{1+y^2}$

$\frac{\partial z}{\partial y} = x e^{xy} \tan^{-1} y + \frac{e^{xy}}{1+y^2}$

3. 最終的な答え

(1)

$\frac{\partial z}{\partial x} = 2x \cos(x^2 + y^2)$

$\frac{\partial z}{\partial y} = 2y \cos(x^2 + y^2)$

(3)

$\frac{\partial z}{\partial x} = y e^{xy} \tan^{-1} y$

$\frac{\partial z}{\partial y} = x e^{xy} \tan^{-1} y + \frac{e^{xy}}{1+y^2}$