与えられた関数 $f(x, y)$ が調和関数であるかどうかを調べます。すなわち、$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 0$ が成立するかどうかを確かめます。以下の4つの関数について調べます。 (1) $f(x, y) = xy(x^2 - y^2)$ (2) $f(x, y) = e^x(\sin y + \cos y)$ (3) $f(x, y) = \tan^{-1} (xy)$ (4) $f(x, y) = \frac{xy}{x^2 + y^2}$

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x, y)$ が調和関数であるかどうかを調べます。すなわち、$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 0$ が成立するかどうかを確かめます。以下の4つの関数について調べます。

(1) $f(x, y) = xy(x^2 - y^2)$

(2) $f(x, y) = e^x(\sin y + \cos y)$

(3) $f(x, y) = \tan^{-1} (xy)$

(4) $f(x, y) = \frac{xy}{x^2 + y^2}$

2. 解き方の手順

各関数について、以下の手順で調べます。

1. $f_x = \frac{\partial f}{\partial x}$ を計算します。

2. $f_y = \frac{\partial f}{\partial y}$ を計算します。

3. $f_{xx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}$ を計算します。

4. $f_{yy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}$ を計算します。

5. $f_{xx} + f_{yy}$ を計算し、0になるかどうかを確かめます。

(1) $f(x, y) = xy(x^2 - y^2) = x^3y - xy^3$

* $f_x = 3x^2y - y^3$

* $f_y = x^3 - 3xy^2$

* $f_{xx} = 6xy$

* $f_{yy} = -6xy$

* $f_{xx} + f_{yy} = 6xy - 6xy = 0$

(2) $f(x, y) = e^x(\sin y + \cos y)$

* $f_x = e^x(\sin y + \cos y)$

* $f_y = e^x(\cos y - \sin y)$

* $f_{xx} = e^x(\sin y + \cos y)$

* $f_{yy} = e^x(-\sin y - \cos y)$

* $f_{xx} + f_{yy} = e^x(\sin y + \cos y) + e^x(-\sin y - \cos y) = 0$

(3) $f(x, y) = \tan^{-1} (xy)$

* $f_x = \frac{y}{1 + (xy)^2}$

* $f_y = \frac{x}{1 + (xy)^2}$

* $f_{xx} = \frac{-2xy^3}{(1 + x^2y^2)^2}$

* $f_{yy} = \frac{-2x^3y}{(1 + x^2y^2)^2}$

* $f_{xx} + f_{yy} = \frac{-2xy^3 - 2x^3y}{(1 + x^2y^2)^2} = \frac{-2xy(x^2 + y^2)}{(1 + x^2y^2)^2}$

(4) $f(x, y) = \frac{xy}{x^2 + y^2}$

* $f_x = \frac{y(x^2 + y^2) - xy(2x)}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{y^3 - x^2y}{(x^2 + y^2)^2}$

* $f_y = \frac{x(x^2 + y^2) - xy(2y)}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{x^3 - xy^2}{(x^2 + y^2)^2}$

* $f_{xx} = \frac{-2x y^3-2 x y^{3}+2 x^{3} y}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3}}$

* $f_{yy} = \frac{-2x^3y-2 x y^{3}+2 x y^{3}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3}}$

* $f_{xx} + f_{yy} = \frac{-2 x y^{3}+2 x^{3} y -2x^3y}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3}} = \frac{2x y^3}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3}} = \frac{2xy(x^2 - y^2)}{(x^2+y^2)^3}$

したがって、$f_{xx}+f_{yy}= \frac{2xy(x^2-y^2)}{(x^2+y^2)^3}$

3. 最終的な答え

(1) 調和関数である。

(2) 調和関数である。

(3) 調和関数ではない。

(4) 調和関数ではない。