与えられた積分 $\int \frac{dx}{x\sqrt{x+1}}$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int \frac{dx}{x\sqrt{x+1}}$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、置換積分を行います。

$u = \sqrt{x+1}$ とおくと、$u^2 = x+1$ となり、$x = u^2-1$ が得られます。

次に、この式を微分すると、$dx = 2u \, du$ となります。

これらの置換を元の積分に適用します。

$\int \frac{dx}{x\sqrt{x+1}} = \int \frac{2u \, du}{(u^2-1)u} = \int \frac{2}{u^2-1} \, du$

ここで、部分分数分解を行います。$\frac{2}{u^2-1} = \frac{2}{(u-1)(u+1)}$ は、

$\frac{2}{(u-1)(u+1)} = \frac{A}{u-1} + \frac{B}{u+1}$ と書けます。

両辺に $(u-1)(u+1)$ をかけると、

$2 = A(u+1) + B(u-1)$ となります。

$u=1$ を代入すると、$2 = 2A$ より $A=1$ が得られます。

$u=-1$ を代入すると、$2 = -2B$ より $B=-1$ が得られます。

したがって、

$\frac{2}{u^2-1} = \frac{1}{u-1} - \frac{1}{u+1}$ となります。

積分は、

$\int \frac{2}{u^2-1} \, du = \int \left( \frac{1}{u-1} - \frac{1}{u+1} \right) \, du = \int \frac{1}{u-1} \, du - \int \frac{1}{u+1} \, du$

$= \ln|u-1| - \ln|u+1| + C = \ln\left| \frac{u-1}{u+1} \right| + C$

ここで、$u = \sqrt{x+1}$ を代入します。

$\ln\left| \frac{\sqrt{x+1}-1}{\sqrt{x+1}+1} \right| + C$

分母の有理化を行うと、

$\ln\left| \frac{(\sqrt{x+1}-1)(\sqrt{x+1}-1)}{(\sqrt{x+1}+1)(\sqrt{x+1}-1)} \right| + C = \ln\left| \frac{(\sqrt{x+1}-1)^2}{x} \right| + C$

$= \ln\left| \frac{x+1 - 2\sqrt{x+1} + 1}{x} \right| + C = \ln\left| \frac{x+2 - 2\sqrt{x+1}}{x} \right| + C$

3. 最終的な答え

$\ln\left| \frac{\sqrt{x+1}-1}{\sqrt{x+1}+1} \right| + C$

または

$\ln\left| \frac{x+2 - 2\sqrt{x+1}}{x} \right| + C$