$\int \sin^4 x \, dx$ を計算してください。

1. 問題の内容

$\int \sin^4 x \, dx$ を計算してください。

2. 解き方の手順

まず、半角の公式 $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$ を利用して、$\sin^4 x$ を変形します。

$\sin^4 x = (\sin^2 x)^2 = \left(\frac{1 - \cos 2x}{2}\right)^2$

展開すると、

$\sin^4 x = \frac{1 - 2\cos 2x + \cos^2 2x}{4}$

さらに、$\cos^2 2x$ に対して半角の公式 $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$ を用いると、

$\cos^2 2x = \frac{1 + \cos 4x}{2}$

したがって、

$\sin^4 x = \frac{1 - 2\cos 2x + \frac{1 + \cos 4x}{2}}{4} = \frac{2 - 4\cos 2x + 1 + \cos 4x}{8} = \frac{3 - 4\cos 2x + \cos 4x}{8}$

積分を計算します。

$\int \sin^4 x \, dx = \int \frac{3 - 4\cos 2x + \cos 4x}{8} \, dx = \frac{1}{8} \int (3 - 4\cos 2x + \cos 4x) \, dx$

各項を積分すると、

$\frac{1}{8} \left(3x - 4 \cdot \frac{1}{2}\sin 2x + \frac{1}{4}\sin 4x\right) + C = \frac{1}{8} \left(3x - 2\sin 2x + \frac{1}{4}\sin 4x\right) + C$

$\frac{3}{8}x - \frac{1}{4}\sin 2x + \frac{1}{32}\sin 4x + C$

3. 最終的な答え

$\int \sin^4 x \, dx = \frac{3}{8}x - \frac{1}{4}\sin 2x + \frac{1}{32}\sin 4x + C$