領域 $D = \{(x, y); 0 \le x - y \le 1, 0 \le x + y \le 1\}$ 上で、2重積分 $\iint_D x^2 dxdy$ の値を、変数変換を用いて計算します。

1. 問題の内容

領域 $D = \{(x, y); 0 \le x - y \le 1, 0 \le x + y \le 1\}$ 上で、2重積分 $\iint_D x^2 dxdy$ の値を、変数変換を用いて計算します。

2. 解き方の手順

まず、変数変換を $u = x - y$、$v = x + y$ と定義します。

このとき、$0 \le u \le 1$、$0 \le v \le 1$ となり、新しい変数 $u, v$ に関する領域 $D'$ は長方形となります。

次に、$x, y$ を $u, v$ で表します。

$u = x - y$ と $v = x + y$ の和をとると、$u + v = 2x$ より $x = \frac{u+v}{2}$ となります。

また、$v = x + y$ から $y = v - x = v - \frac{u+v}{2} = \frac{v-u}{2}$ となります。

ヤコビアンを計算します。

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\frac{\partial (x, y)}{\partial (u, v)} = \begin{vmatrix}

\frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\

\frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v}

\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}

\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\

-\frac{1}{2} & \frac{1}{2}

\end{vmatrix} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} - \left( \frac{1}{2} \right) \cdot \left( -\frac{1}{2} \right) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}

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したがって、$| \frac{\partial (x, y)}{\partial (u, v)} | = \frac{1}{2}$ となります。

2重積分を計算します。

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\iint_D x^2 dxdy = \iint_{D'} \left(\frac{u+v}{2}\right)^2 \left| \frac{\partial (x, y)}{\partial (u, v)} \right| dudv

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= \int_0^1 \int_0^1 \left( \frac{u+v}{2} \right)^2 \cdot \frac{1}{2} dudv = \frac{1}{8} \int_0^1 \int_0^1 (u^2 + 2uv + v^2) dudv

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= \frac{1}{8} \int_0^1 \left[ \frac{u^3}{3} + u^2 v + uv^2 \right]_0^1 dv = \frac{1}{8} \int_0^1 \left( \frac{1}{3} + v + v^2 \right) dv

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= \frac{1}{8} \left[ \frac{1}{3}v + \frac{v^2}{2} + \frac{v^3}{3} \right]_0^1 = \frac{1}{8} \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \right) = \frac{1}{8} \left( \frac{2}{3} + \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{8} \left( \frac{4+3}{6} \right) = \frac{1}{8} \cdot \frac{7}{6} = \frac{7}{48}

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3. 最終的な答え

$\frac{7}{48}$