次の広義積分の収束、発散を調べよ。 (1) $\int_{0}^{1} \log x \, dx$ (2) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{\sin x}$

1. 問題の内容

次の広義積分の収束、発散を調べよ。

(1) $\int_{0}^{1} \log x \, dx$

(2) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{\sin x}$

2. 解き方の手順

(1) $\int_{0}^{1} \log x \, dx$ について

これは広義積分なので、次のように計算する。

$$\int_{0}^{1} \log x \, dx = \lim_{\epsilon \to +0} \int_{\epsilon}^{1} \log x \, dx$$

部分積分を行う。$u = \log x$, $dv = dx$ とすると、$du = \frac{1}{x} dx$, $v = x$ となる。

$$\int_{\epsilon}^{1} \log x \, dx = [x \log x]_{\epsilon}^{1} - \int_{\epsilon}^{1} x \cdot \frac{1}{x} \, dx = [x \log x]_{\epsilon}^{1} - \int_{\epsilon}^{1} dx$$

$$= (1 \log 1 - \epsilon \log \epsilon) - [x]_{\epsilon}^{1} = (0 - \epsilon \log \epsilon) - (1 - \epsilon) = - \epsilon \log \epsilon - 1 + \epsilon$$

$$\lim_{\epsilon \to +0} \int_{\epsilon}^{1} \log x \, dx = \lim_{\epsilon \to +0} (- \epsilon \log \epsilon - 1 + \epsilon)$$

$\lim_{\epsilon \to +0} \epsilon \log \epsilon = 0$ であるから、

$$\lim_{\epsilon \to +0} (- \epsilon \log \epsilon - 1 + \epsilon) = -0 - 1 + 0 = -1$$

したがって、$\int_{0}^{1} \log x \, dx = -1$

(2) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{\sin x}$ について

$x \to 0$ で $\sin x \sim x$ なので、$\frac{1}{\sin x} \sim \frac{1}{x}$ となる。$\int_0^{\pi/2} \frac{1}{x}dx$ は発散するので$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{\sin x}$ も発散すると予想される。

$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{\sin x} = \lim_{\epsilon \to +0} \int_{\epsilon}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{\sin x}$$

$$\int \frac{dx}{\sin x} = \int \frac{dx}{2\sin(x/2)\cos(x/2)} = \int \frac{dx}{2\tan(x/2)\cos^2(x/2)} = \int \frac{1}{\tan(x/2)}\frac{1}{2\cos^2(x/2)}dx = \int \frac{1}{\tan(x/2)}d(\tan(x/2)) = \log|\tan(x/2)| + C$$

$$\lim_{\epsilon \to +0} \int_{\epsilon}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{\sin x} = \lim_{\epsilon \to +0} \left[\log\left|\tan\left(\frac{x}{2}\right)\right|\right]_{\epsilon}^{\frac{\pi}{2}} = \lim_{\epsilon \to +0} \left( \log \left| \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) \right| - \log \left| \tan\left(\frac{\epsilon}{2}\right) \right| \right)$$

$$= \lim_{\epsilon \to +0} \left(\log 1 - \log \left| \tan\left(\frac{\epsilon}{2}\right) \right| \right) = - \lim_{\epsilon \to +0} \log \left( \tan\left(\frac{\epsilon}{2}\right) \right) = - \log \left(\lim_{\epsilon \to +0}\tan\left(\frac{\epsilon}{2}\right) \right) = -\log(0) = \infty$$

したがって、$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{\sin x}$ は発散する。

3. 最終的な答え

(1) $\int_{0}^{1} \log x \, dx$ は収束し、値は -1 である。

(2) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{\sin x}$ は発散する。