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関数 $f(x) = |x|$ が $C^2((-1, 1))$ に属さないことを示せ。 ここで、$C^2((-1, 1))$ は、開区間 $(-1, 1)$ で２回連続微分可能な関数の集合を表します。

解析学微分連続性微分可能性絶対値関数関数解析
2025/7/27

1. 問題の内容

関数 f(x)=∣x∣f(x) = |x| が C2((−1,1))C^2((-1, 1)) に属さないことを示せ。
ここで、C2((−1,1))C^2((-1, 1)) は、開区間 (−1,1)(-1, 1) で２回連続微分可能な関数の集合を表します。

2. 解き方の手順

関数 f(x)=∣x∣f(x) = |x| の微分可能性を調べます。
まず、x>0x > 0 のとき、f(x)=xf(x) = x なので、f′(x)=1f'(x) = 1 となり、x<0x < 0 のとき、f(x)=−xf(x) = -x なので、f′(x)=−1f'(x) = -1 となります。
したがって、x=0x=0 での微分可能性を調べます。
f′(0+)=lim⁡h→0+f(0+h)−f(0)h=lim⁡h→0+∣h∣h=lim⁡h→0+hh=1f'(0^+) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{|h|}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h}{h} = 1
f′(0−)=lim⁡h→0−f(0+h)−f(0)h=lim⁡h→0−∣h∣h=lim⁡h→0−−hh=−1f'(0^-) = \lim_{h \to 0^-} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{|h|}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{-h}{h} = -1
右側極限と左側極限が異なるので、f′(0)f'(0) は存在しません。つまり、f(x)=∣x∣f(x) = |x| は x=0x=0 で微分不可能であり、C1((−1,1))C^1((-1, 1)) に属しません。
したがって、f(x)=∣x∣f(x)=|x| が C2((−1,1))C^2((-1,1)) に属することはありません。

3. 最終的な答え

∣x∣∉C2((−1,1))|x| \notin C^2((-1, 1))

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