関数 $f(x) = x|x|$ が $C^2((-1, 1))$ に属さないことを示す問題です。ここで、$C^2((-1, 1))$ は区間 $(-1, 1)$ で2回連続微分可能な関数の集合を表します。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x|x|$ が $C^2((-1, 1))$ に属さないことを示す問題です。ここで、$C^2((-1, 1))$ は区間 $(-1, 1)$ で2回連続微分可能な関数の集合を表します。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ を場合分けして表します。

$f(x) = \begin{cases} x^2 & (x \ge 0) \\ -x^2 & (x < 0) \end{cases}$

次に、$f(x)$ の導関数を計算します。

$f'(x) = \begin{cases} 2x & (x \ge 0) \\ -2x & (x < 0) \end{cases} = 2|x|$

$f'(x)$ は $x=0$ で連続です。なぜなら、

$\lim_{x \to +0} f'(x) = \lim_{x \to +0} 2x = 0$

$\lim_{x \to -0} f'(x) = \lim_{x \to -0} -2x = 0$

$f'(0) = 0$

次に、$f''(x)$ を計算します。

$f''(x) = \begin{cases} 2 & (x > 0) \\ -2 & (x < 0) \end{cases}$

$f''(x)$ は $x=0$ で定義されていません。また、

$\lim_{x \to +0} f''(x) = 2$

$\lim_{x \to -0} f''(x) = -2$

よって、$f''(x)$ は $x=0$ で不連続です。

したがって、$f(x)$ は2回微分可能ですが、$f''(x)$ が $x=0$ で連続ではないため、$f(x)$ は $C^2((-1, 1))$ に属しません。

3. 最終的な答え

$f(x) = x|x|$ は $C^2((-1, 1))$ に属さない。