与えられた3つの積分を計算します。 (2) $\int e^{\sqrt{x}} dx$ (3) $\int e^{ax} \cos{x} dx$ (4) $\int x\log(1+x) dx$

はい、承知いたしました。画像にある3つの積分問題を解きます。

1. 問題の内容

与えられた3つの積分を計算します。

(2) $\int e^{\sqrt{x}} dx$

(3) $\int e^{ax} \cos{x} dx$

(4) $\int x\log(1+x) dx$

2. 解き方の手順

(2) $\int e^{\sqrt{x}} dx$

まず、置換積分を行います。$u = \sqrt{x}$ と置くと、$x = u^2$、$dx = 2u du$ となります。

したがって、

$\int e^{\sqrt{x}} dx = \int e^u \cdot 2u du = 2\int ue^u du$

部分積分を用いて計算します。

$v = u, dw = e^u du$ とすると、$dv = du, w = e^u$ となります。

$\int ue^u du = ue^u - \int e^u du = ue^u - e^u + C$

よって、

$2\int ue^u du = 2(ue^u - e^u) + C = 2(\sqrt{x}e^{\sqrt{x}} - e^{\sqrt{x}}) + C$

(3) $\int e^{ax} \cos{x} dx$

部分積分を2回用います。

$I = \int e^{ax} \cos{x} dx$

$u = e^{ax}, dv = \cos{x} dx$ とすると、$du = ae^{ax}dx, v = \sin{x}$

$I = e^{ax} \sin{x} - \int ae^{ax} \sin{x} dx = e^{ax}\sin{x} - a\int e^{ax} \sin{x} dx$

次に、$\int e^{ax} \sin{x} dx$ を計算します。

$u = e^{ax}, dv = \sin{x} dx$ とすると、$du = ae^{ax} dx, v = -\cos{x}$

$\int e^{ax} \sin{x} dx = -e^{ax}\cos{x} + \int ae^{ax} \cos{x} dx = -e^{ax}\cos{x} + a\int e^{ax} \cos{x} dx$

したがって、

$I = e^{ax}\sin{x} - a(-e^{ax}\cos{x} + a\int e^{ax} \cos{x} dx) = e^{ax}\sin{x} + ae^{ax}\cos{x} - a^2\int e^{ax}\cos{x} dx$

$I = e^{ax}\sin{x} + ae^{ax}\cos{x} - a^2I$

$(1+a^2)I = e^{ax}(\sin{x} + a\cos{x})$

$I = \frac{e^{ax}(\sin{x} + a\cos{x})}{1+a^2} + C$

(4) $\int x\log(1+x) dx$

部分積分を行います。

$u = \log(1+x), dv = x dx$ とすると、$du = \frac{1}{1+x} dx, v = \frac{x^2}{2}$

$\int x\log(1+x) dx = \frac{x^2}{2}\log(1+x) - \int \frac{x^2}{2(1+x)} dx = \frac{x^2}{2}\log(1+x) - \frac{1}{2}\int \frac{x^2}{1+x} dx$

$\int \frac{x^2}{1+x} dx = \int \frac{x^2 - 1 + 1}{1+x} dx = \int \frac{(x-1)(x+1) + 1}{1+x} dx = \int (x-1 + \frac{1}{1+x}) dx = \frac{x^2}{2} - x + \log(1+x) + C$

したがって、

$\int x\log(1+x) dx = \frac{x^2}{2}\log(1+x) - \frac{1}{2}(\frac{x^2}{2} - x + \log(1+x)) + C = \frac{x^2}{2}\log(1+x) - \frac{x^2}{4} + \frac{x}{2} - \frac{1}{2}\log(1+x) + C$

3. 最終的な答え

(2) $\int e^{\sqrt{x}} dx = 2\sqrt{x}e^{\sqrt{x}} - 2e^{\sqrt{x}} + C$

(3) $\int e^{ax} \cos{x} dx = \frac{e^{ax}(\sin{x} + a\cos{x})}{1+a^2} + C$

(4) $\int x\log(1+x) dx = \frac{x^2}{2}\log(1+x) - \frac{x^2}{4} + \frac{x}{2} - \frac{1}{2}\log(1+x) + C$