問題は、極限 $\lim_{n \to \infty} (1 - \frac{1}{n})^n$ を求めることです。

1. 問題の内容

問題は、極限 $\lim_{n \to \infty} (1 - \frac{1}{n})^n$ を求めることです。

2. 解き方の手順

この極限は、自然対数の底 $e$ の定義に関連しています。

まず、$y = (1 - \frac{1}{n})^n$ とおきます。

両辺の自然対数をとると、

$\ln y = \ln( (1 - \frac{1}{n})^n ) = n \ln(1 - \frac{1}{n})$

となります。

$x = \frac{1}{n}$ と置換すると、$n \to \infty$ のとき $x \to 0$ となります。

したがって、

$\lim_{n \to \infty} \ln y = \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 - x)}{x}$

ここで、$\ln(1-x)$ のマクローリン展開を考えると、

$\ln(1-x) = -x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - \dots$

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 - x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{-x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - \dots}{x} = \lim_{x \to 0} (-1 - \frac{x}{2} - \frac{x^2}{3} - \dots) = -1$

つまり、$\lim_{n \to \infty} \ln y = -1$ です。

したがって、$\lim_{n \to \infty} y = e^{-1} = \frac{1}{e}$ となります。

別の解法としては、ロピタルの定理を使うこともできます。

$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 - x)}{x}$ において、分子も分母も0に近づくので、ロピタルの定理を適用できます。

$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{-1}{1-x}}{1} = \lim_{x \to 0} \frac{-1}{1-x} = -1$

したがって、$\lim_{n \to \infty} \ln y = -1$ です。

したがって、$\lim_{n \to \infty} y = e^{-1} = \frac{1}{e}$ となります。

3. 最終的な答え

$\frac{1}{e}$