与えられた極限 $\lim_{n \to \infty} (1 - \frac{1}{n})^n$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた極限 $\lim_{n \to \infty} (1 - \frac{1}{n})^n$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を変形します。

$y = (1 - \frac{1}{n})^n$ とおきます。両辺の自然対数をとると、

$\ln y = n \ln(1 - \frac{1}{n})$

となります。ここで、$x = \frac{1}{n}$ と置くと、$n \to \infty$ のとき $x \to 0$ なので、

$\lim_{n \to \infty} \ln y = \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1-x)}{x}$

となります。この極限は不定形 $\frac{0}{0}$ なので、ロピタルの定理を使うことができます。

$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1-x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{-1}{1-x}}{1} = \lim_{x \to 0} \frac{-1}{1-x} = -1$

したがって、

$\lim_{n \to \infty} \ln y = -1$

つまり、

$\lim_{n \to \infty} y = e^{-1} = \frac{1}{e}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{e}$