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定積分 $\int_{1}^{e} \log x \, dx$ を計算します。ここで $\log x$ は自然対数とします。

解析学定積分部分積分法自然対数
2025/7/27
はい、承知いたしました。以下に解答を示します。

1. 問題の内容

定積分 ∫1elog⁡x dx\int_{1}^{e} \log x \, dx を計算します。ここで log⁡x\log x は自然対数とします。

2. 解き方の手順

この定積分を計算するために、部分積分法を用います。部分積分法は、∫u dv=uv−∫v du\int u \, dv = uv - \int v \, du という公式です。
ここでは、u=log⁡xu = \log x と dv=dxdv = dx と置きます。すると、du=1xdxdu = \frac{1}{x} dx と v=xv = x となります。
したがって、
∫log⁡x dx=xlog⁡x−∫x⋅1x dx=xlog⁡x−∫1 dx=xlog⁡x−x+C\int \log x \, dx = x \log x - \int x \cdot \frac{1}{x} \, dx = x \log x - \int 1 \, dx = x \log x - x + C
となります (Cは積分定数)。
次に、定積分の定義に従い、積分区間 [1, e] で評価します。
∫1elog⁡x dx=[xlog⁡x−x]1e=(elog⁡e−e)−(1⋅log⁡1−1)=(e⋅1−e)−(1⋅0−1)=(e−e)−(0−1)=0−(−1)=1\int_{1}^{e} \log x \, dx = [x \log x - x]_{1}^{e} = (e \log e - e) - (1 \cdot \log 1 - 1) = (e \cdot 1 - e) - (1 \cdot 0 - 1) = (e - e) - (0 - 1) = 0 - (-1) = 1

3. 最終的な答え

∫1elog⁡x dx=1\int_{1}^{e} \log x \, dx = 1

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